[论文解读] Colored discrete spaces: higher dimensional combinatorial maps and quantum gravity

Luca Lionni|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 123被引用 48

一句话总结

该论文提出了一种彩色离散空间与彩色组合地图之间的双射，该双射保留了局部曲率信息，从而能够系统地分析高维量子引力模型。主要贡献在于构建了一个将离散爱因斯坦-希尔伯特作用量重写为具有部分迹的随机矩阵模型的框架，使其与张量模型相关联，并通过彩色SYK模型的$1/N$展开实现广义单元地图的计数。

ABSTRACT

In any dimension $D$, the Euclidean Einstein-Hilbert action, which describes gravity in the absence of matter, can be discretized over random discrete spaces obtained by gluing families of polytopes together in all possible ways. In the physical limit of small Newton constant, only the spaces which maximize the mean curvature survive. In two dimensions, this results in a theory of random discrete spheres, which converge in the continuum limit towards the Brownian sphere, a random fractal space interpreted as a quantum random space-time. In this limit, the continuous Liouville theory of $D=2$ quantum gravity is recovered. Previous results in higher dimension regarded triangulations - gluings of tetrahedra or $D$-dimensional generalizations, leading to the continuum random tree, or gluings of simple colored building blocks of small sizes, for which multi-trace matrix model results are recovered. This work aims at providing combinatorial tools which would allow a systematic study of richer building blocks and of the spaces they generate in the continuum. We develop a bijection with stacked two-dimensional discrete surfaces, and detail how it can be used to classify discrete spaces according to their mean curvature and topology. A number of blocks are analyzed, including the new infinite family of bi-pyramids, as well as toroidal and $D$-dimensional generalizations. The relation to random tensor models is detailed. A central concern is the lowest bound on the number of ($D-2$)-cells for any given blocks, or equivalently the right scaling for the associated tensor model to have a well-behaved $1/N$ expansion. We also apply our bijection to the identification of the graphs contributing at any order to the $2n$-point functions of the colored SYK model, and to the enumeration of generalized unicellular maps - spaces obtained from a single building block - according to their mean curvature.

研究动机与目标

• 解决二维随机三角剖分的直接高维推广在生成可行量子时空时的失败问题。
• 为系统分析维度$D \geq 3$的彩色构建块开发组合工具。
• 通过确定构建块中$(D-2)$-细胞的最小数量，确定随机张量模型的正确缩放。
• 建立离散爱因斯坦-希尔伯特理论与具有部分迹的随机矩阵模型之间的联系。
• 通过彩色SYK模型的$1/N$展开，实现根据其平均曲率对广义单细胞地图进行计数。

提出的方法

• 对离散空间中的$(D-1)$-细胞引入着色，以实现对高维组合结构的分析处理。
• 推导出彩色离散空间与彩色组合地图之间的双射，该双射保留了局部曲率数据。
• 利用该双射将离散爱因斯坦-希尔伯特作用量映射为具有部分迹的随机矩阵模型，称为中间场表示。
• 将该框架应用于分析小尺寸构建块，并构建一个新的无限组彩色构建块。
• 利用组合地图理论的结果，基于其平均曲率和$1/N$展开阶数，对广义单细胞地图进行计数。
• 通过0-得分$\Phi_0(G)$建立$1/N$展开阶数的界限，确保基于泡的贡献具有非负有理数阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为推广自二维三角剖分的高维离散空间开发一种系统性的分析方法？
• RQ2 在构建块中，为确保随机张量模型中正确的缩放，$(D-2)$-细胞的最小数量是多少？
• RQ3 如何利用组合地图系统地枚举彩色SYK模型的$1/N$展开？
• RQ4 在何种条件下，由于0-得分对泡数的非线性依赖，$1/N$展开会变得无法定义？
• RQ5 彩色离散空间与组合地图之间的双射能否用于推导离散引力理论的一致中间场表示？

主要发现

• 建立了彩色离散空间与彩色组合地图之间的双射，保留了局部曲率信息，从而实现了分析研究。
• 任何彩色构建块的离散爱因斯坦-希尔伯特作用量均可通过中间场表示重写为具有部分迹的随机矩阵模型。
• 对于$K_4$非可定向泡，最大图的0-得分为$\Phi_0(G) = 6 + 6 \times b(G)$，这意味着当$b(G)$为偶数时，$a'_{G_k} = 6$，但奇数计数时可能出现非线性行为。
• 若0-得分函数$f(b)$在泡数上呈现非线性且严格递增，可能导致有理数阶的$1/N$展开，但此类行为不太可能发生。
• 若最大图的0-得分满足$\Phi_0(G_{\text{max}}) = D + f(b(G_{\text{max}}))$且$f(x) \leq 22$，则通过新定义$\delta(G) = D + f(b(G)) - \Phi_0(G)$可获得有理数阶的$1/N$展开。
• 若0-得分非线性增长且斜率超过理论界限$a'_{\text{max}} = 22$，则无法定义合适的$1/N$展开，因为这将导致大-$N$极限下发散的贡献。