[论文解读] Colored range closest-pair problem under general distance functions

Jie Xue|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 5

一句话总结

本文首次提出了在一般单调范数（包括所有 Lp-范数和 L∞ 范数）下，针对二维空间中彩色范围最近对（CRCP）问题的高效 (1+ε)-近似数据结构。该方法实现了二维空间中的正交范围查询，具有次对数时间复杂度和近乎线性的空间复杂度，显著超越了以往仅限于无色点和欧氏距离的研究工作。

ABSTRACT

The range closest-pair (RCP) problem is the range-search version of the classical closest-pair problem, which aims to store a given dataset of points in some data structure such that when a query range X is specified, the closest pair of points contained in X can be reported efficiently. A natural generalization of the RCP problem is the colored range closest-pair (CRCP) problem in which the given data points are colored and the goal is to find the closest bichromatic pair contained in the query range. All the previous work on the RCP problem was restricted to the uncolored version and the Euclidean distance function. In this paper, we make the first progress on the CRCP problem. We investigate the problem under a general distance function induced by a monotone norm; in particular, this covers all the Lp-metrics for p ≥ 1 and the L∞-metric. We design efficient (1+e)-approximate CRCP data structures for orthogonal queries in R2, where e > 0 is a pre-specified parameter. The highlights are two data structures for answering rectangle queries, one of which uses O(e−1n log4n) space and O(log4n + e−1 log3n + e−2 log n) query time while the other uses O(e−1n log3n) space and O(log5n + e−1 log4n + e−2 log2n) query time, where n is the size of the input dataset. In addition, we also apply our techniques to the CRCP problem in higher dimensions, obtaining efficient data structures for slab, 2-box, and 3D dominance queries. Before this paper, almost all the existing results for the RCP problem were achieved in R2.

研究动机与目标

• 将范围最近对问题推广至具有双色点对的一般距离函数下的彩色设置。
• 支持在单调范数下高效近似查询，包括 Lp 范数和 L∞ 范数。
• 设计在 R² 及更高维度中，针对正交查询、条带查询、2-盒查询和 3D 支配查询的低空间复杂度与低查询时间的数据结构。
• 将先前仅限于 R² 和欧氏距离的 RCP 结果推广至更广泛的应用场景，提升计算几何中的实用性。

提出的方法

• 通过范围分解与分层划分技术，设计适用于 R² 中正交查询的 (1+ε)-近似数据结构。
• 采用两级架构：一种结构的空间复杂度为 O(ε⁻¹n log⁴n)，查询时间复杂度为 O(log⁴n + ε⁻¹log³n + ε⁻²log n)；另一种结构的空间复杂度降低至 O(ε⁻¹n log³n)，但查询时间增加至 O(log⁵n + ε⁻¹log⁴n + ε⁻²log²n)。
• 应用范围分解技术，将查询范围划分为更小的子范围，以高效定位候选双色点对。
• 通过正交范围搜索原原子系统扩展至高维空间，支持条带查询、2-盒查询和 3D 支配查询。
• 利用单调范数的性质，在保持高效预处理与查询操作的同时，控制近似误差。
• 结合分数级联与范围树，支持子范围内的快速正交范围报告与最近对计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在欧氏距离之外的一般距离函数下，彩色范围最近对问题能否被高效求解？
• RQ2 在 R² 中正交查询下，(1+ε)-近似 CRCP 的空间与查询时间之间存在何种权衡？
• RQ3 如何将 CRCP 问题扩展至条带、2-盒和 3D 支配等高维查询？
• RQ4 在单调范数下，能否实现接近线性空间复杂度的同时达到次对数查询时间？

主要发现

• 本文在 R² 中提出了两种正交查询数据结构：一种使用 O(ε⁻¹n log⁴n) 空间，查询时间复杂度为 O(log⁴n + ε⁻¹log³n + ε⁻²log n)。
• 第二种结构将空间复杂度降低至 O(ε⁻¹n log³n)，代价是查询时间增加至 O(log⁵n + ε⁻¹log⁴n + ε⁻²log²n)。
• 该方法通过通用单调范数框架，支持所有 p ≥ 1 的 Lp-范数以及 L∞-范数。
• 技术被成功扩展至高维空间，为条带、2-盒和 3D 支配查询提供了高效的数据结构。
• 本工作首次解决了在一般距离函数下的 CRCP 问题，突破了以往仅限于无色点和欧氏距离的限制。
• 研究结果为在更广泛的几何设置中实现近似 CRCP 奠定了基础，并提供了可证明的效率保障。