[论文解读] Colored stochastic dominance problems

Jie Xue, Yuan Li|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文引入了彩色随机支配（CSD）问题，其中在 ℝᵈ 中的随机点根据颜色具有存在的概率，并分析其在实现中的跨颜色支配关系。针对 d=2，提出了 O(n² log²n) 时间复杂度的算法，并证明了当 d≥3 时问题为 #P-难，同时提供了近似方案的全多项式随机近似方案（FPRAS），并通过归约方法将结果扩展至自由基支配问题。

ABSTRACT

In this paper, we study the dominance relation under a stochastic setting. Let $\mathcal{S}$ be a set of $n$ colored stochastic points in $\mathbb{R}^d$, each of which is associated with an existence probability. We investigate the problem of computing the probability that a realization of $\mathcal{S}$ contains inter-color dominances, which we call the extit{colored stochastic dominance} (CSD) problem. We propose the first algorithm to solve the CSD problem for $d=2$ in $O(n^2 \log^2 n)$ time. On the other hand, we prove that, for $d \geq 3$, even the CSD problem with a restricted color pattern is \#P-hard. In addition, even if the existence probabilities are restricted to be $\frac{1}{2}$, the problem remains \#P-hard for $d \geq 7$. A simple FPRAS is then provided to approximate the desired probability in any dimension. We also study a variant of the CSD problem in which the dominance relation is considered with respect to not only the standard basis but any orthogonal basis of $\mathbb{R}^d$. Specifically, this variant, which we call the {\em free-basis colored stochastic dominance} (FBCSD) problem, considers the probability that a realization of $\mathcal{S}$ contains inter-color dominances with respect to any orthogonal basis of $\mathbb{R}^d$. We show that the CSD problem is polynomial-time reducible to the FBCSD problem in the same dimension, which proves the \#P-hardness of the latter for $d \geq 3$. Conversely, we reduce the FBCSD problem in $\mathbb{R}^2$ to the CSD problem in $\mathbb{R}^2$, by which an $O(n^4 \log^2 n)$ time algorithm for the former is obtained.

研究动机与目标

• 形式化并解决彩色随机支配（CSD）问题，其中不同颜色的随机点具有独立的存在概率，且跨颜色支配关系具有概率性。
• 确定 CSD 问题在不同维度下的计算复杂度，特别是为 d≥3 建立困难性结果。
• 将框架扩展至自由基彩色随机支配（FBCSD）问题，其中支配关系在 ℝᵈ 的任意正交基上进行评估。
• 为低维情形提供高效算法，为高维情形提供近似方案。

提出的方法

• 提出一种分治方法，结合平面扫描与正交范围搜索，以 O(n² log²n) 时间复杂度在 ℝ² 中计算支配概率。
• 将 CSD 问题归约为同维的 FBCSD 问题，通过该归约证明 FBCSD 在 d≥3 时为 #P-难。
• 从 ℝ² 中的 FBCSD 问题反向归约为 ℝ² 中的 CSD 问题，从而为 2D 情况下的 FBCSD 问题提供 O(n⁴ log²n) 时间复杂度的算法。
• 设计全多项式随机近似方案（FPRAS），用于在任意维度 d 下近似支配概率。
• 通过在独立存在概率下对点实现的概率分析，建立支配事件的建模方法。
• 采用几何技术，如支配区域构造与正交基变换，以处理自由基变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算具有彩色存在概率的随机点集中跨颜色支配关系的概率？
• RQ2 能否为二维空间中的 CSD 问题设计高效的精确算法？
• RQ3 即使在概率分布受限的情况下，CSD 问题在三维或更高维中是否仍为 #P-难？
• RQ4 FBCSD 问题能否归约为标准 CSD 问题？这对复杂度与算法设计有何影响？
• RQ5 当精确计算不可行时，可采用何种近似技术来估计支配概率？

主要发现

• 在 ℝ² 中，CSD 问题可通过基于支配区域分解的几何算法在 O(n² log²n) 时间内精确求解。
• 当 d≥3 时，CSD 问题为 #P-难，即使所有存在概率均固定为 1/2，也表明高维情形下存在强不可解性。
• FBCSD 问题在 d≥3 时同样为 #P-难，因为其可在多项式时间内归约为同维的 CSD 问题。
• 提供了 FPRAS，可在任意维度 d 下以保证误差界和多项式时间复杂度近似支配概率。
• 在 ℝ² 中，FBCSD 问题可通过归约为 ℝ² 中的 CSD 问题，在 O(n⁴ log²n) 时间内求解。
• 在 ℝ² 中 CSD 与 FBCSD 之间的归约表明二者在计算复杂度上等价，从而支持算法的相互迁移。