[论文解读] Colored unavoidable patterns and balanceable graphs

Matt Bowen, Adriana Hansberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 9

一句话总结

本论文研究了边着色完全图中的图论型问题，证明了在任意 r 条边着色的完全图中，若每种颜色的边数达到 Ω(n²⁻¹/trʳ)，则必然包含有限族 𝒟ₜʳ 中的一个成员。作者猜想每种颜色 Ω(n²⁻¹/ᵗ) 条边已足够，且对 r=3 证明了该界限的紧致性；对于 r≥7，即使每种颜色有 n²⁻ᵒ⁽¹⁾ 条边，也无法保证存在长度为 7k 的平衡路径。

ABSTRACT

We study a Turán-type problem on edge-colored complete graphs. We show that for any $r$ and $t$, any sufficiently large $r$-edge-colored complete graph on $n$ vertices with $Ω(n^{2-1/tr^r})$ edges in each color contains a member from certain finite family $\mathcal{F}_t^r$ of $r$-edge-colored complete graphs. We conjecture that $Ω(n^{2-1/t})$ edges in each color are sufficient to find a member from ${\mathcal{F}}_t^r$. A result of Girão and Narayanan confirms this conjecture when $r=2$. Next, we study a related problem where the corresponding Turán threshold is linear. We call an edge-coloring of a path $P_{rk}$ balanced if each color appears $k$ times in the coloring. We show that any $3$-edge-coloring of a large complete graph with $kn+o(n)$ edges in each color contains a balanced $P_{3k}$. This is tight up to a constant factor of $2$. For more colors, the problem becomes surprisingly more delicate. Already for $r=7$, we show that even $n^{2-o(1)}$ edges from each color does not guarantee existence of a balanced $P_{7k}$.

研究动机与目标

• 确定在 r 条边着色的完全图中，强制出现单色结构所需的最少每色边数。
• 将两色拉姆齐理论的结果推广至 r 色情形，特别关注着色图中不可避免的模式。
• 研究边着色完全图中是否存在平衡路径，即每种颜色出现次数相等的路径。
• 刻画哪些图是‘可平衡的’——即在 𝒟ₜʳ 的所有模式中均存在平衡嵌入的图。
• 缩小 r 色情形下图论阈值的已知上下界之间的差距，尤其针对 r≥3 的情况。

提出的方法

• 采用图论型极值框架，界定在 r 条边着色的完全图中强制出现 𝒟ₜʳ 中成员所需的最少每色边数。
• 应用随机构造方法，表明在假设 ex(n, Kₜ,ₜ) 的猜想下界成立的前提下，当前上界在常数因子范围内是紧致的。
• 引入平衡嵌入的概念，即子图中每种颜色出现次数相等，并将函数 balᵣ(n, G) 定义为确保此类嵌入的最小边密度。
• 构建辅助多重图，其中顶点代表顶点部分，边的重数被设定为保证欧拉回路的存在，从而实现平衡路径的嵌入。
• 利用各二部图部分中颜色频率的最小公倍数（lcm）来定义基准路径长度 k′₀，以确保构造路径中颜色分布的平衡性。
• 对 𝒟ₜʳ 中图的结构进行分析，表明每个此类图均可划分为 k 个大小为 t 的部分，包含单色团和二部边，且所有 r 种颜色均被使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 r 条边着色的完全图中，强制出现 𝒟ₜʳ 中成员所需的最少每色边数是多少？
• RQ2 如所猜想，图论界限中的指数能否从 2−1/trʳ 改进为 2−1/t？
• RQ3 对于 r≥3，每种颜色的边密度阈值是多少，才能保证存在平衡路径 P_{rk}？
• RQ4 哪些图 G 是可平衡的，即在 𝒟ₜʳ 的所有模式中均存在平衡嵌入？
• RQ5 当 r≥3 时，balᵣ(n, G) = o(n²) 是否对所有图 G 成立，还是存在 balᵣ(n, G) = Θ(n²) 的图？

主要发现

• 对任意 r 和 t，任意 r 条边着色的完全图中，若每种颜色的边数为 Ω(n²⁻¹/trʳ)，则必然包含有限族 𝒟ₜʳ 中的一个成员。
• 作者猜想每种颜色 Ω(n²⁻¹/ᵗ) 条边已足够强制出现 𝒟ₜʳ 中的成员，且该猜想在常数因子范围内是紧致的。
• 当 r=3 时，任意 3 条边着色图中，若每种颜色有 kn + o(n) 条边，则必然包含平衡路径 P_{3k}，且该界限在常数因子 2 范围内是紧致的。
• 当 r=7 时，即使每种颜色有 n²⁻ᵒ⁽¹⁾ 条边，也无法保证存在平衡路径 P_{7k}，表明随着颜色数增加，问题的复杂性显著提升。
• 给出了一个刻画：balᵣ(n, G) = o(n²) 当且仅当 G 能嵌入到 𝒟ₜʳ 的每一个模式中实现平衡嵌入。
• 当 r=3 时，证明了 bal₃(n, C_{6k}) = o(n²)，但 bal₃(n, C_{6k+3}) = Ω(n²)，因此尚不清楚其值是有限还是无限。