[论文解读] Colored Vertex Models and Iwahori Whittaker Functions

Ben Brubaker, Valentin Buciumas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用 15

一句话总结

本文為非阿基米德局部域上半单群的无挠主系的 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数建立了一个可解晶格模型框架，利用颜色顶点模型，其配分函数计算这些 Whittaker 函数。关键结果是，这些模型的 R-矩阵源自 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ 的 Drinfeld 变换，将其与标准交织算子联系起来，并通过杨-巴克斯方程将 Iwahori Whittaker 函数与麦克唐纳多项式联系起来。

ABSTRACT

We give a recursive method for computing all values of a basis of Whittaker functions for unramified principal series invariant under an Iwahori or parahoric subgroup of a split reductive group $G$ over a nonarchimedean local field $F$. Structures in the proof have surprising analogies to features of certain solvable lattice models. In the case $G=\mathrm{GL}_r$ we show that there exist solvable lattice models whose partition functions give precisely all of these values. Here `solvable' means that the models have a family of Yang-Baxter equations which imply, among other things, that their partition functions satisfy the same recursions as those for Iwahori or parahoric Whittaker functions. The R-matrices for these Yang-Baxter equations come from a Drinfeld twist of the quantum group $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$, which we then connect to the standard intertwining operators on the unramified principal series. We use our results to connect Iwahori and parahoric Whittaker functions to variations of Macdonald polynomials.

研究动机与目标

• 将可解晶格模型技术从球面 Whittaker 函数扩展至 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数。
• 构建一个颜色顶点模型，其配分函数计算 $\mathrm{GL}_r(F)$ 的 Iwahori Whittaker 函数值。
• 通过 Weyl 群元素与 $g \in G(F)$ 建立晶格模型中边界条件与 Whittaker 函数值之间的对应关系。
• 将晶格模型的 R-矩阵与表示理论中无挠主系上的标准交织算子联系起来。
• 通过晶格模型框架，将 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数与麦克唐纳多项式的变体联系起来。

提出的方法

• 构建一个带有颜色边界条件的抛物晶格模型，以编码 Weyl 群元素与 $g \in G(F)$。
• 利用由融合关系导出的杨-巴克斯方程，确保模型的一致性与可解性。
• 从 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ 的 Drinfeld 变换导出 R-矩阵，以模拟晶格相互作用。
• 证明该模型的配分函数满足与 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数相同的递推关系。
• 通过交织积分与 $R$-矩阵作用，将晶格模型与 $p$-进群表示理论中的标准算子联系起来。
• 通过显式递推与边界条件匹配，证明晶格模型的配分函数与 Whittaker 函数值一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathrm{GL}_r(F)$ 的 Iwahori Whittaker 函数实现为可解晶格模型的配分函数？
• RQ2 控制此类晶格模型可解性的 R-矩阵的代数结构是什么？
• RQ3 晶格模型中的边界条件如何对应于 Weyl 群元素与 $g \in G(F)$？
• RQ4 晶格模型的 R-矩阵与无挠主系上标准交织算子之间有何联系？
• RQ5 通过此构造，Iwahori 与抛物 Whittaker 函数如何与麦克唐纳多项式相关联？

主要发现

• 对每个 $g \in \mathrm{GL}_r(F)$ 与 Weyl 群元素 $w$，在抛物晶格模型中存在一个边界条件，使得配分函数等于 $\psi_w(g)$，即 Iwahori Whittaker 函数值。
• 该模型的 R-矩阵源自 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$ 的 Drinfeld 变换，将晶格模型与量子群结构联系起来。
• 颜色顶点模型的配分函数满足与 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数相同的递推关系，证实了其可解性。
• 当顶部边界上的颜色互不相同时，每个边界条件唯一对应一个 $g \in G(F)$ 与 Weyl 群中的 $w$，且配分函数等于 $\phi_w(g)$。
• 该构造建立了在 Whittaker 泛函上交织算子的作用与 $R$-矩阵在晶格模型态上的作用之间的直接对应关系。
• 该框架可推广至抛物子群，将 Iwahori 与抛物 Whittaker 函数统一于单一可解晶格模型之中。