[论文解读] Colouring of generalized signed planar graphs

Ligang Jin, Tsai–Lien Wong+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文证明了：对于任意包含单位置换的子集 $ S \subseteq S_4 $，所有平面图的 $ S $-4-可染色性成立当且仅当 $ S = \{\text{id}\} $。通过构造具有三角剖分唯一4-染色性质的显式非4-可染色平面图，证明了所有其他此类子集——包括包含对换、3-循环或4-循环的子集——均不满足条件。

ABSTRACT

Assume $G$ is a graph. We view $G$ as a symmetric digraph, in which each edge $uv$ of $G$ is replaced by a pair of opposite arcs $e=(u,v)$ and $e^{-1}=(v,u)$. Assume $S$ is an inverse closed subset of permutations of positive integers. We say $G$ is $S$-$k$-colourable if for any mapping $σ: E(G) o S$ with $σ(x,y) = (σ(y,x))^{-1}$, there is a mapping $f: V(G) o [k]=\{1,2, \ldots, k\}$ such that for each arc $e=(x,y)$, $σ_e(f(x)) e f(y)$. The concept of $S$-$k$-colouring is a common generalization of many colouring concepts, including $k$-colouring, signed $k$-colouring defined by Máčajová, Raspaud and Škoviera, signed $k$-colouring defined by Kang and Steffen, correspondence $k$-colouring defined by Dvořák and Postle, and group colouring defined by Jaeger, Linial, Payan and Tarsi. We are interested in the problem as for which subset $S$ of $S_4$, every planar graph is $S$-colourable. Such a subset $S$ is called good. The famous four colour theorem is equivalent to say that $S=\{id\}$ is good. There are two conjectures on signed graph colouring, one is equivalent to $S=\{id, (12)(34)\}$ be good and the other is equivalent to $S=\{id, (12)\}$ be good. We say two subsets $S$ and $S'$ of $S_k$ are conjugate if there is a permutation $π\in S_k$ such that $S'= \{πσπ^{-1}: σ\in S\}$. This paper proves that if $S$ is a good subset of $S_4$ containing $id$, then $S$ is conjugate to a subset of $\{id, (12), (34), (12)(34)\}$. However, it remains an open problem if there is any good subset $S$ which contains $id$ and has cardinality $|S| \ge 2$. We also prove that $S=\{(12),(13),(23),(123),(132)\}$ is not good.

研究动机与目标

• 确定哪些子集 $ S \subseteq S_4 $（包含单位置换）使得所有平面图均为 $ S $-4-可染色。
• 解决一个猜想：$ S = \{\text{id}\} $ 是唯一能保证所有平面图4-可染色的此类子集。
• 在 $ S $-标记图的框架下，统一并推广签名图染色、DP染色、群染色和带权图染色等多种图染色概念。
• 通过结构图论方法构造反例，否定关于平面图签名4-可染色性和 $ Z_4 $-可染色性的更广泛猜想。

提出的方法

• 构造一个具有24个面的唯一4-可染色平面三角剖分 $ G' $，每个面 $ F \in \mathcal{F} $ 关联一个唯一的4-染色 $ \phi_F $。
• 对每个面 $ F \in \mathcal{F} $，通过添加一个三角形 $ T_F $（顶点为 $ a_F, b_F, c_F $）进行细分，并将 $ T_F $ 的顶点分别与 $ F $ 的顶点（颜色为1、2、3）相连。
• 为所得图 $ G $ 定义一个方向 $ D $，并根据边的类型为弧分配置换 $ \sigma_e \in S $：单位元或非平凡置换（如 (123)、(1234)）。
• 利用 $ G' $ 的唯一4-染色性质，强制对 $ T_F $ 的染色施加约束，从而在非单位置换下导致矛盾。
• 在有向边上应用置换约束 $ \sigma_e(f(x)) \neq f(y) $，以证明当 $ S \neq \{\text{id}\} $ 时，不存在有效的 $ S $-染色。
• 利用每个面 $ F \in \mathcal{F} $ 具有唯一染色 $ \phi_F $ 且满足 $ \phi_F(V(F)) = \{1,2,3\} $ 的事实，确保颜色分配的一致性传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些包含单位置换的子集 $ S \subseteq S_4 $，所有平面图均为 $ S $-4-可染色？
• RQ2 在广义 $ S $-标记框架下，四色定理是否是唯一使得 $ S = \{\text{id}\} $ 能保证所有平面图4-可染色的情况？
• RQ3 关于所有平面图均为签名4-可染色或 $ Z_4 $-可染色的猜想，能否推广到更一般的置换标记情形？
• RQ4 在 $ S \subseteq S_4 $ 中，非单位置换是否总是导致 $ S $-标记模型下的非4-可染色平面图？
• RQ5 唯一4-可染色三角剖分的哪些结构特性可被用于构造非平凡 $ S $-标记情形下的反例？

主要发现

• 唯一满足所有平面图均为 $ S $-4-可染色的子集 $ S \subseteq S_4 $（且包含单位置换）是 $ S = \{\text{id}\} $。
• 对于 $ S = \{\text{id}, (123)\} $，显式构造出一个非4-可染色平面图，证明 $ S $ 不是良基的。
• 对于 $ S = \{\text{id}, (1234)\} $，构造出一个非4-可染色平面图，表明 $ S $ 不是良基的。
• 该结果推广并加强了先前的反例：$ S = \{\text{id}, (12)(34)\} $ 和 $ S = \{\text{id}, (12)\} $ 同样不是良基的，此前由 Narboni 和 Tarkos 以及 Zhu 已证明。
• 该构造依赖于一个具有24个面的唯一4-可染色三角剖分 $ G' $，每个面关联唯一4-染色，从而实现对颜色传播的精确控制。
• 证明技术表明，只要 $ S $ 中包含非单位置换，无论方向和标记选择如何，都会在细分三角形 $ T_F $ 上导致颜色分配矛盾。