[论文解读] Colourings of Cayley graphs of finite $3$-groups

Piotr Grzeszczuk|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2026

Finite Group Theory Research被引用 0

一句话总结

论文介绍有限3群的着色双射并证明每个非循环的3群若非同构于特殊族L_r，则存在着色双射，从而给出3维 Cayley 图 ˜G˜_3(G) 的一个Proper |G|-着色。

ABSTRACT

Colouring problems arising from group-based constructions provide a natural link between combinatorics and algebra, particularly in the study of Cayley graphs and Latin squares. We introduce the notion of colouring bijections of finite groups, a class of permutations encoding proper vertex colourings of associated Cayley-type graphs, extending classical concepts such as complete mappings and strong complete mappings. We prove that every finite $3$-group without a cyclic maximal subgroup admits a colouring bijection. Consequently, for such a group $G$, the graph $\mathscr{G}_3(G)$ - a three-dimensional analogue of a Latin square - admits a proper colouring with $|G|$ colours. These results show that the existence of colouring bijections is governed by structural properties of $3$-groups, revealing a new connection between group theory and combinatorial colouring problems.

研究动机与目标

• 研究来自基于群的 Cayley 图的着色及其与拉丁方阵和完全映射的关系。
• 将着色双射作为完全映射的高维类比，并确立其在着色 Cayley 型图中的作用。
• 提供提升技术，将着色双射从商群扩展到整个3群。
• 刻画哪些有限3群存在着色双射，并推导对 ˜G˜_3(G) 色数的影响。

提出的方法

• 通过同构为 ϕ 的双射来定义着色双射，使映射 x·σ(x)、x^{-1}σ(x) 与 x^{-1}σ(x)x 都是双射。
• 证明着色双射可以通过着色函数 c(x,y,z)=x^{-1}σ(y)z 给出 ˜G˜_3(G) 的 |G|-着色。
• 将着色双射与强完全映射相关联，并展示通常情况下，着色双射意味着相关结构上的强完全映射。
• 利用分层（提升）论证在 H 为中心子群或具有特定结构（C3×C3 或 C9×C3）时，将着色从 G/H 扩展到 G。
• 通过计算机辅助搜索对阶27的非阿贝尔群 H3 与 L3 给出显式着色双射，并以此作为归纳提升过程的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限3群存在着色双射？
• RQ2 存在着色双射是否保证对所有非特殊3群的 Cayley 图 ˜G˜_3(G) 具有|G|个颜色的适当着色？
• RQ3 在法子子群同构为 C3×C3 或 C9×C3 的情形下，是否可以将着色双射从商群提升到整个群？
• RQ4 像 L_r 这样的特殊族如何阻碍着色双射，以及哪些结构性质决定可着色性？

主要发现

• 每个非循环的3群若不是与 L_r 同构（r≥4），则存在着色双射。
• 因此，对此类 G，图 ˜G˜_3(G) 具有用 |G| 种颜色的适当着色，即 χ(˜G˜_3(G))=|G|。
• 在某些3群中，着色双射比强完全映射更为稀少，提升技术可以处理若干商群情形。
• 存在阶27的非对换群 H3 与 L3 的显式着色双射，通过计算机辅助搜索获得，用以支撑归纳提升过程。
• 一个层次准则（中心正规子提升）在合适的结构条件下有助于将着色从 G/H 扩展到 G。
• 对于阿贝尔3群，着色双射等同于强完全映射；而在一般情形下，两者之间存在一个规范变换。