[论文解读] Colourings with Bounded Monochromatic Components in Graphs of Given Circumference

Bojan Mohar, Bruce Reed+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

该论文证明，围长至多为 $k$ 的图具有 $O(\log k)$-色染色，使得每个单色连通分量的大小至多为 $k$，且该界在常数因子意义下是紧的。该结果通过基于分隔符和环结构的归纳分解方法实现，解决了排除环或路径作为子式时缺陷染色猜想中的一个关键情形。

ABSTRACT

We prove that every graph with circumference at most $k$ is $O(\\log k)$-colourable such that every monochromatic component has size at most $O(k)$. The $O(\\log k)$ bound on the number of colours is best possible, even in the setting of colourings with bounded monochromatic degree.

研究动机与目标

• 确定将围长至多为 $k$ 的图进行染色所需的最少颜色数，使得每个单色连通分量的大小有界。
• 为围长有界的图类建立缺陷色数的紧渐近界。
• 解决 Ossona de Mendez 等人关于 $H$-无子式图的缺陷色数猜想中的一个关键情形。
• 改进排除固定路径或环作为子式的图的缺陷染色的先前线性上界。

提出的方法

• 通过 $k + |V(G)|$ 的归纳法构造一个 $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$-色染色，使得单色连通分量的大小至多为 $k$。
• 基于最小分隔符和 3-连通性进行递归分解，通过将非 3-连通图分解为更小的子图来处理。
• 对于 3-连通图，识别一条长度为 $k$ 的环 $Q$，并分析剩余图 $G' = G - V(Q)$，其围长已减小。
• 将 $G'$ 的围长界为 $\lfloor \frac{1}{2}k \rfloor$，从而实现使用更少颜色的递归染色。
• 预先对大小至多为 2 的团进行染色，并确保与这些团相交的单色连通分量被包含在团内。
• 为 $G'$ 和 $S = V(Q) \cup C$ 使用互不相交的颜色集合，为 $S \setminus C$ 额外使用一种颜色，确保总颜色数保持在 $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$ 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 在围长至多为 $k$ 的图中，为使单色连通分量的大小被 $k$ 有界，所需的最少颜色数是多少？
• RQ2 对颜色数的 $O(\log k)$ 上界是否可以改进，还是其渐近意义下已是紧的？
• RQ3 对于 $H$-无子式图，其缺陷色数与 $H$ 的树深度之间有何关系，特别是对环和路径而言？
• RQ4 Ossona de Mendez 等人提出的猜想 $f(H) = \mathrm{td}(H) - 1$ 是否对 $H = C_{k+1}$ 和 $H = P_{k+1}$ 成立？
• RQ5 对于排除固定路径或环作为子式的图，是否可以改进缺陷染色的先前线性上界？

主要发现

• 所有围长至多为 $k$ 的图都是 $\lfloor 3\log_2 k \rfloor$-可染色的，且每个单色连通分量的大小至多为 $k$，从而证明了 $O(\log k)$ 上界。
• 通过构造图使得 $k$-染色强制单色度数为 $\Omega(d)$，表明 $O(\log k)$ 上界在常数因子意义下是紧的。
• 定义为使单色连通分量有界于 $k$ 的最少颜色数的函数 $g(k)$ 满足 $g(k) = \Theta(\log k)$。
• 对于缺陷色数 $f(k)$，建立了界限 $\lfloor \log_2 k \rfloor + 1 \leq f(k) \leq \lfloor 3\log_2 k \rfloor$，改进了先前的线性上界。
• 结果支持 Ossona de Mendez 等人的猜想 $f(H) = \mathrm{td}(H) - 1$，其中环与路径情形的值与猜想值相差不超过 3 倍。
• 通过构造 $G_{k,d}$ 表明，围长为 $2^k$ 的图的 $k$-染色必须包含一个单色度数至少为 $d$ 的顶点，从而证明了下界。