[论文解读] Comb Diagrams for Discrete-Time Feedback

Mario Román|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2020

Logic, programming, and type systems被引用 7

一句话总结

本文通过在对称单子范畴中使用余端（coends）的形式化方法，对具有孔洞的无限梳状图（infinite comb diagrams）进行建模，实现了对反馈、延迟和离散动力系统的一体化处理。该研究构建了一个支持反馈与延迟函子的∞-梳状范畴，将量子梳状图、透镜（lenses）和学习器（learners）统一于单一范畴框架下，适用于动力系统与神经网络的研究。

ABSTRACT

The data for many useful bidirectional constructions in applied category theory (optics, learners, games, quantum combs) can be expressed in terms of diagrams containing "holes" or "incomplete parts", sometimes known as comb diagrams. We give a possible formalization of what these circuits with incomplete parts represent in terms of symmetric monoidal categories, using the dinaturality equivalence relations arising from a coend. Our main idea is to extend this formal description to allow for infinite circuits with holes indexed by the natural numbers. We show how infinite combs over an arbitrary symmetric monoidal category form again a symmetric monoidal category where notions of delay and feedback can be considered. The constructions presented here are still preliminary work.

研究动机与目标

• 通过基于余端的商化方法，在对称单子范畴中正式定义带孔洞的无限梳状图（即电路）为态射。
• 将有限梳状图的构造推广至以自然数为指标的无限序列，同时保持图形演算的等价性。
• 定义一个支持延迟与反馈操作的∞-梳状图对称单子范畴。
• 在统一的范畴框架下，整合看似不同的结构，如量子梳状图、透镜与学习器。

提出的方法

• 使用余端来形式化表示带孔洞图的等价类，通过Yoneda引理导出的余自然关系进行商化。
• 将n-梳状图与∞-梳状图定义为在具有中间记忆对象的态射序列上的余端构造。
• 在任意对称单子范畴上构建∞-梳状图范畴，其复合运算通过余端商化定义。
• 引入一个延迟函子与一个反馈算子，将迹类操作推广至无限情形。
• 将该框架应用于斐波那契数列与概率动力系统等实例。
• 将该构造与现有模型（如信号流图、开放游戏、学习器的Circ构造）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称单子范畴中，通过余端演算正式定义具有孔洞的无限梳状图？
• RQ2 当在任意对称单子范畴上构造无限梳状图时，会涌现出何种范畴结构？
• RQ3 与有限梳状图或迹操作相比，延迟与反馈操作在无限梳状图设定下如何推广？
• RQ4 ∞-梳状图构造在哪些方面统一了量子梳状图、透镜与学习器？
• RQ5 无限梳状图能否为信号流图提供语义，或用于建模循环神经网络？

主要发现

• 在任意对称单子范畴上的∞-梳状图范畴本身即为一个对称单子范畴，支持复合、延迟与反馈操作。
• 该构造推广了有限梳状图，并为离散时间反馈系统提供了范畴框架。
• 斐波那契数列可表示为∞-梳状图范畴中的一个态射，其中反馈编码了递推关系。
• 通过有限分布函子（finite distribution monad），该框架自然容纳了概率动力系统。
• ∞-梳状图构造与信号流图在结构上具有相似性，或可为其提供范畴语义。
• 该方法暗示了开放游戏与2-梳状结构之间可能存在联系，尤其在建模两阶段效用过程方面。