[论文解读] Combinatorial and algorithmic aspects of hyperbolic polynomials

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Apr 27, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 24

一句话总结

本文证明，对于双曲多项式，判断单项式 $x_1 x_2 \cdots x_n$ 是否出现在其支集中（问题1）与判断点 $(1,1,\dots,1)$ 是否位于其牛顿多面体中（问题2）是等价的，并且可以通过预言机算法在确定性多项式时间内求解。关键贡献是将Rado定理推广至双曲情形，统一了双曲多项式的组合与算法性质，并推广了关于永久式与行列式的结果。

ABSTRACT

Let $p(x_1,...,x_n) =\sum_{(r_1,...,r_n) \in I_{n,n}} a_{(r_1,...,r_n)} \prod_{1 \leq i \leq n} x_{i}^{r_{i}}$ be homogeneous polynomial of degree $n$ in $n$ real variables with integer nonnegative coefficients. The support of such polynomial $p(x_1,...,x_n)$ is defined as $supp(p) = \{(r_1,...,r_n) \in I_{n,n} : a_{(r_1,...,r_n)} eq 0 \}$ . The convex hull $CO(supp(p))$ of $supp(p)$ is called the Newton polytope of $p$ . We study the following decision problems, which are far-reaching generalizations of the classical perfect matching problem : {itemize} {\bf Problem 1 .} Consider a homogeneous polynomial $p(x_1,...,x_n)$ of degree $n$ in $n$ real variables with nonnegative integer coefficients given as a black box (oracle) . {\it Is it true that $(1,1,..,1) \in supp(p)$ ?} {\bf Problem 2 .} Consider a homogeneous polynomial $p(x_1,...,x_n)$ of degree $n$ in $n$ real variables with nonnegative integer coefficients given as a black box (oracle) . {\it Is it true that $(1,1,..,1) \in CO(supp(p))$ ?} {itemize} We prove that for hyperbolic polynomials these two problems are equivalent and can be solved by deterministic polynomial-time oracle algorithms . This result is based on a "hyperbolic" generalization of Rado theorem .

研究动机与目标

• 判断齐次双曲多项式（具有非负整数系数）的支集中是否包含单项式 $x_1 x_2 \cdots x_n$。
• 判断此类多项式的牛顿多面体是否包含点 $(1,1,\dots,1)$。
• 建立双曲多项式下这两个判定问题的等价性。
• 将Rado定理推广至双曲设置，并应用于多matroid等组合与代数结构。
• 开发基于凸优化技术的确定性多项式时间预言机算法，以求解这些问题。

提出的方法

• 引入 $P$-双曲与 $S$-双曲多项式的概念，推广行列式与永久式的性质。
• 定义多项式 $p$ 的支集 $\mathrm{supp}(p)$ 与牛顿多面体 $\mathrm{CO}(\mathrm{supp}(p))$。
• 提出Rado定理的双曲类比（定理2.2），将组合条件与双曲多项式的代数性质联系起来。
• 应用椭球法求解非线性凸规划问题，通过预言机查询在有理点上评估 $p$，从而解决判定问题。
• 提出对双随机双曲多项式进行多项式时间推广的Sinkhorn缩放方法。
• 利用整数多matroid理论，将 $P$-双曲多项式的支集表征为与超平面 $\sum r_i = n$ 的交集。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个 $P$-双曲多项式，其支集中是否包含单项式 $x_1 x_2 \cdots x_n$？
• RQ2 该多项式的牛顿多面体是否包含点 $(1,1,\dots,1)$？
• RQ3 是否仅通过预言机访问多项式，就能在确定性多项式时间内求解这两个问题？
• RQ4 是否存在一个双曲推广的Rado定理，可统一支持成员关系的组合与代数条件？
• RQ5 能否证明双曲van der Waerden猜想，从而推广经典永久式结果？

主要发现

• 问题1与问题2对双曲多项式等价，且可通过预言机查询在确定性多项式时间内求解。
• 双曲Rado定理（定理2.2）为 $P$-双曲多项式的支集提供了结构表征：即整数多matroid与超平面 $\sum r_i = n$ 的交集。
• 经调整以适用于非线性凸规划的椭球算法，可在多项式时间内求解两个问题，查询次数在 $n$ 与 $\log p(1,\dots,1)$ 范围内为多项式。
• $P$-双曲多项式的支集是整数多matroid与次数-$n$ 超平面的交集，推广了文献[7]的结果。
• 双曲van der Waerden猜想蕴含存在一种确定性多项式时间预言机算法，其乘法因子为 $n^n / n!$，可用于逼近混合导数 $\partial^n p / \partial x_1 \cdots \partial x_n$。
• 本文证明，问题1的所有难解实例必为不稳定多项式，从而将复杂性与双曲多项式的稳定性联系起来。