[论文解读] Combinatorial approach of certain generalized Stirling numbers

Hacène Belbachir, Amine Belkhir+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了广义Stirling数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 的组合解释与显式公式，该数通过将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个有序非空列表中定义，其中列表首元素的权重为 $\beta$，其他元素的权重为 $\alpha$。利用容斥原理与对称函数，作者推导出递推关系、显式表达式及卷积恒等式，将经典Stirling数与Whitney数扩展为具有新代数与组合结构的广义形式。

ABSTRACT

A combinatorial methods are used to investigate some properties of certain generalized Stirling numbers, including explicit formula and recurrence relations. Furthermore, an expression of these numbers with symmetric function is deduced.

研究动机与目标

• 为广义Stirling数 $S(n,k;\alpha,\beta,0) = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 提供组合解释，扩展经典Stirling数与Whitney数。
• 利用容斥原理推导 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 的显式公式。
• 建立广义数的递推关系与对称函数表达式。
• 证明涉及多项式系数与有序分拆结构的新卷积恒等式。

提出的方法

• 定义 $\Omega_{n,k}$ 为将 $n$ 个元素分配到 $k$ 个有序非空列表中的加权分布集合，其中首元素权重为 $\beta$，其余元素权重为 $\alpha$，且第一个元素权重为 $1$。
• 使用容斥原理推导显式公式 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{n}{j} \frac{(\beta j + \alpha)^{n-j}}{j!}$。
• 建立递推关系：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}^{\alpha,\beta} + (\alpha k + \beta (k-1)) \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}^{\alpha,\beta}$。
• 通过生成函数与组合权重分配，利用初等对称函数表达这些数。
• 证明一个多项式卷积恒等式：$\binom{k}{k_1,\ldots,k_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{l_1+\cdots+l_p=n} \binom{n}{l_1,\ldots,l_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_1}{k_1}^{\alpha,\beta} \cdots \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_p}{k_p}^{\alpha,\beta}$。
• 通过分析将 $s$ 个最后元素插入 $k$ 个列表（基于列表位置与首元素保留的加权选择）推导第二个卷积恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Stirling数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 如何通过加权列表分配进行组合解释？
• RQ2 能否利用容斥原理推导出 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 的显式闭式表达？
• RQ3 广义数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 的递推关系如何推广经典Stirling数与Whitney数的递推关系？
• RQ4 对称函数理论能否用于以结构化的代数形式表达 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$？
• RQ5 哪些卷积恒等式控制这些广义数的乘法与加法结构？

主要发现

• 通过容斥原理推导出 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$ 的显式公式：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{n}{j} \frac{(\beta j + \alpha)^{n-j}}{j!}$。
• 建立了递推关系：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}^{\alpha,\beta} + (\alpha k + \beta (k-1)) \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}^{\alpha,\beta}$。
• 通过生成函数与权重分配，可利用初等对称函数表达 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta}$。
• 多项式卷积恒等式成立：$\binom{k}{k_1,\ldots,k_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{\alpha,\beta} = \sum_{l_1+\cdots+l_p=n} \binom{n}{l_1,\ldots,l_p} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_1}{k_1}^{\alpha,\beta} \cdots \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{l_p}{k_p}^{\alpha,\beta}$。
• 通过分析将 $s$ 个最后元素插入 $k$ 个列表，证明了第二个卷积恒等式，得到关于有序指标 $i_1 \leq \cdots \leq i_{s-j}$ 的求和，权重为 $\left(\alpha + \beta\right)i_l + \alpha(m - (s-j-l))$。