[论文解读] Combinatorial Discrepancy for Boxes via the Ellipsoid-Infinity Norm

Jiřı́ Matoušek, Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Mathematical Approximation and Integration被引用 2

一句话总结

本文证明了矩阵的 $\gamma_2$ 范数能紧密逼近遗传不和谐度，从而实现了不和谐度界限的多项式时间计算。它证明了 $\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$ 以及 $\mathrm{herdisc}\, A = O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$，由此首次实现了遗传不和谐度的多项式时间近似算法，并将其应用于证明 $d$-维Tusnady问题的近似最优 $\Omega(\log^{d-1} n)$ 下界。

ABSTRACT

The $\gamma_2$ norm of a real $m imes n$ matrix $A$ is the minimum number $t$ such that the column vectors of $A$ are contained in a $0$-centered ellipsoid $E\subseteq\mathbb{R}^m$ which in turn is contained in the hypercube $[-t, t]^m$. We prove that this classical quantity approximates the \emph{hereditary discrepancy} $\mathrm{herdisc} A$ as follows: $\gamma_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc} A$ and $\mathrm{herdisc} A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdot\gamma_2(A) $. Since $\gamma_2$ is polynomial-time computable, this gives a polynomial-time approximation algorithm for hereditary discrepancy. Both inequalities are shown to be asymptotically tight. We then demonstrate on several examples the power of the $\gamma_2$ norm as a tool for proving lower and upper bounds in discrepancy theory. Most notably, we prove a new lower bound of $\Omega(\log^{d-1} n)$ for the \emph{$d$-dimensional Tusnady problem}, asking for the combinatorial discrepancy of an $n$-point set in $\mathbb{R}^d$ with respect to axis-parallel boxes. For $d>2$, this improves the previous best lower bound, which was of order approximately $\log^{(d-1)/2}n$, and it comes close to the best known upper bound of $O(\log^{d+1/2}n)$, for which we also obtain a new, very simple proof.

研究动机与目标

• 建立矩阵的 $\gamma_2$ 范数与遗传不和谐度之间紧密的近似界。
• 利用 $\gamma_2$ 范数开发一种可多项式时间计算的遗传不和谐度近似算法。
• 将 $\gamma_2$ 范数框架应用于推导不和谐度理论中的新下界，特别是 $d$-维Tusnady问题的下界。
• 为已知的 $O(\log^{d+1/2} n)$ 上界提供一种新的、简化的证明。

提出的方法

• 将 $\gamma_2$ 范数定义为最小的 $t$，使得矩阵 $A$ 的列向量位于一个中心为原点、且包含于 $[-t,t]^m$ 的椭球 $E$ 内，从而将其与 $\mathbb{R}^m$ 中的几何包含关系联系起来。
• 证明 $\gamma_2(A)$ 在 $O(\log m)$ 因子内近似遗传不和谐度，建立近似比的上下界。
• 利用 $\gamma_2$ 范数与椭球-无穷范数之间的对偶性，通过几何与泛函分析技术推导不和谐度的界。
• 将 $\gamma_2$ 框架应用于 $\mathbb{R}^d$ 中的轴对齐长方体，利用 $d$-维Tusnady问题的结构，推导出渐近紧致的界。
• 通过具体例子表明，$\gamma_2$ 范数是证明不和谐度理论中上下界的有力工具。
• 基于 $\gamma_2$ 范数框架，为 $d$-维Tusnady问题的 $O(\log^{d+1/2} n)$ 上界提供一种新的、初等的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式因子内使用 $\gamma_2$ 范数来近似遗传不和谐度？
• RQ2 $\gamma_2(A)$ 与 $\mathrm{herdisc}\, A$ 之间的最紧近似比是多少？
• RQ3 $\gamma_2$ 范数框架能否为 $d$-维Tusnady问题提供改进的下界？
• RQ4 能否使用 $\gamma_2$ 范数开发一种多项式时间算法来近似遗传不和谐度？
• RQ5 $\gamma_2$ 范数能否为 $d$-维Tusnady问题中已知的 $O(\log^{d+1/2} n)$ 上界提供更简单的证明？

主要发现

• $\gamma_2$ 范数在 $O(\log m)$ 因子内近似遗传不和谐度，且满足 $\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$。
• 遗传不和谐度的上界为 $O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$，表明近似比在对数因子范围内是紧致的。
• $\gamma_2$ 范数提供了遗传不和谐度的多项式时间可计算近似，从而支持高效的算法应用。
• 本文为 $d$-维Tusnady问题证明了 $\Omega(\log^{d-1} n)$ 的新下界，优于此前的最佳下界 $\sim \log^{(d-1)/2} n$。
• 本文基于 $\gamma_2$ 范数框架，为 $d$-维Tusnady问题的 $O(\log^{d+1/2} n)$ 上界提供了新的、初等的证明。
• $\gamma_2$ 范数与遗传不和谐度的界被证明是渐近紧致的，确认了近似比的最优性。