[论文解读] Combinatorial limitations of a strong form of list decoding

Venkatesan Guruswami, S. Sathish Narayanan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 2

一句话总结

本文建立了二元码中列表译码的组合极限，证明了在容量以下速率 γ 的码必须包含 Ωp(1/√γ) 个码字，其与质心的平均距离较低——为一种鲁棒形式的列表译码提供了强有力的下界。此外，本文使用二阶矩方法重新证明并强化了标准的 Ωp(log(1/γ)) 下界，并表明常重码可导出具有类似列表大小行为的一般码。

ABSTRACT

We prove the following results concerning the combinatorics of list decoding, motivated by the exponential gap between the known upper bound (of O(1/γ)) and lower bound (of Ωp(log(1/γ))) for the list-size needed to decode up to radius p with rate γ away from capacity, i.e., 1 − h(p) − γ (here p ∈ (0, 1/2) and γ> 0). • We prove that in any binary code C ⊆ {0, 1}n of rate 1 − h(p) − γ, there must exist a set L ⊂ C of Ωp(1/√γ) codewords such that the average distance of the points in L from their centroid is at most pn. In other words, there must exist Ωp(1/ γ) codewords with low “average radius”. The motivation for this result is that it gives a list-size lower bound for a strong notion of list decoding; this strong form has been implicitly been used in the previous negative results for list decoding. (The usual notion of list decoding corresponds to replacing average radius by the minimum radius of an enclosing Hamming ball.) The remaining results are for the usual notion of list decoding: • We give a short simple proof, over all fixed alphabets, of the above-mentioned Ωp(log(1/γ)) lower bound due to Blinovsky. • We show that one cannot improve the Ωp(log(1/γ)) lower bound via techniques based on identifying the zero-rate regime for list decoding of constant-weight codes (this is a typical approach for negative results in coding theory, including the Ωp(log(1/γ)) list size lower bound). On a positive note, our Ωp(1/ γ) lower bound for the strong form of list decoding does circumvent this barrier. • We show a “reverse connection ” showing that constant-weight codes for list decoding imply general codes for list decoding with higher rate. This shows that the best possible list-size, as a function of the gap γ of the rate to the capacity limit, is the same up to constant factors for both constant-weight codes and general codes. • We give simple second moment based proofs that w.h.p. a list-size of Ωp(1/γ) is needed for list decoding random codes from errors as well as erasures, at rates which are γ away from the corresponding capacities. For random linear codes, the corresponding list size bounds are Ωp(1/γ) for errors and exp(Ωp(1/γ)) for erasures.

研究动机与目标

• 弥合已知的关于接近容量时列表大小的上界与下界之间的指数差距。
• 分析强制在强形式列表译码下产生大列表大小的码的组合结构。
• 证明基于常重码的技术无法改进标准列表译码的 Ωp(log(1/γ)) 下界。
• 表明常重码与一般码在列表大小行为上至多相差常数因子，具有等价性。
• 为随机码和随机线性码中的列表大小下界提供简洁的二阶矩证明。

提出的方法

• 通过组合平均论证，证明存在一个码字大子集，其与质心的平均距离较低。
• 应用二阶矩方法，推导随机码在错误和删除情况下的列表大小下界。
• 使用逆向构造方法，表明用于列表译码的常重码可导出具有类似列表大小性能的一般码。
• 通过固定字母表上的简洁二阶矩论证，重新推导出 Ωp(log(1/γ)) 下界。
• 分析基于常重码技术在改进列表大小下界方面的局限性。
• 证明强形式的列表译码可规避基于常重码方法固有的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平均距离从质心受限制的强形式列表译码中，所需的最小列表大小是多少？
• RQ2 基于常重码的技术能否改进标准列表译码的 Ωp(log(1/γ)) 下界？
• RQ3 在错误与删除情况下，随机码的列表大小要求如何比较？
• RQ4 常重码的最佳可能列表大小是否渐近等价于一般码的列表大小？
• RQ5 二阶矩方法能否为随机码和随机线性码中的列表译码提供紧致下界？

主要发现

• 在任意速率 1 − h(p) − γ 的二元码中，存在一个大小为 Ωp(1/√γ) 的码字子集，其与质心的平均距离不超过 pn，从而建立了强形式列表译码的下界。
• 通过适用于所有固定字母表的简洁二阶矩论证，重新证明了标准列表译码的下界 Ωp(log(1/γ))。
• 基于常重码的技术无法改进 Ωp(log(1/γ)) 下界，因为它们无法克服此类构造中的固有障碍。
• 用于列表译码的常重码可导出具有可比列表大小行为的一般码，表明两者在常数因子内等价。
• 对于随机码，从错误中进行列表译码需要至少 Ωp(1/γ) 的列表大小，随机线性码同样需要 Ωp(1/γ)，而删除情况则需要 exp(Ωp(1/γ)) 的列表大小。
• 二阶矩方法可得到紧致下界：在错误和删除情况下，随机码的下界为 Ωp(1/γ)，随机线性码在删除情况下的下界为指数级。