[论文解读] Combinatorial Mori-Zwanzig Theory

Yuanran Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种组合Mori-Zwanzig理论（CMZE），这是一种新颖的非微扰框架，通过将记忆核表示为格林函数自身的函数复合，推导出多体系统中关联函数和格林函数的自洽演化方程。利用对称与非对称贝尔多项式，该方法生成了该复合函数的精确泰勒级数展开，得到类似于时间域中组合Dyson-Schwinger方程的结构方程，在经典、随机和量子系统（包括Hubbard模型）中成功应用，产生了自洽的、受图解启发的展开式，相较于标准微扰理论在强关联区域具有显著改进。

ABSTRACT

We introduce a combinatorial version Mori-Zwanzig theory and develop from it a family of self-consistent evolution equations for the correlation function or Green's function of interactive many-body systems. The core idea is to use an ansatz to rewrite the memory kernel (self-energy) of the regular Mori-Zwanzig equation as a function composition of the correlation (Green's) function. Then a series of algebraic combinatorial tools, especially the commutative and noncommutative Bell polynomials, are used to determine the exact Taylor series expansion of the composition function. The resulting combinatorial Mori-Zwanzig equation (CMZE) yields novel non-perturbative expansions of the equation of motion for the correlation (Green's) function. The structural equation for deriving such a combinatorial expansion resembles the combinatorial Dyson-Schwinger equation and may be viewed as its temporal-domain analogue. After introducing the abstract word and tree representation of the CMZE, we show its wide-range application in classical, stochastic, and quantum many-body systems. In all these examples, the new self-consistent expansions we obtained with the CMZE are similar to the diagrammatic skeleton expansions used in quantum many-body theory and lattice statistical field theory. We expect such a new framework can be used to calculate the correlation (Green's) function for strongly correlated/interactive many-body systems.

研究动机与目标

• 开发一种非微扰框架，用于计算强相互作用多体系统中的关联函数和格林函数，其中标准多体微扰理论失效。
• 通过记忆核的函数复合，克服传统Mori-Zwanzig理论的局限性，实现自洽、系统的展开。
• 建立基于贝尔多项式的组合形式体系，生成记忆核作为格林函数函数的精确泰勒级数展开。
• 提供一种统一的、自洽的方法，适用于经典、随机和量子多体系统，其结构与图解骨架展开具有类比性。
• 利用新形式体系推导Hubbard模型中退格林函数的闭合演化方程，获得优于标准微扰方法的近似结果。

提出的方法

• 通过将记忆核重写为关联（格林）函数的函数复合，提出组合Mori-Zwanzig方程（CMZE）。
• 利用对称与非对称贝尔多项式，计算复合函数的精确泰勒级数展开，实现系统性的非微扰近似。
• 引入抽象词与树结构表示，形式化CMZE的组合结构，促进高阶项的系统推导。
• 将该方法应用于推导Hubbard模型中退格林函数的演化方程，使用对格点电子算符的Mori型投影算符。
• 使用辅助矩阵 Dₙ = (A, (iL)^n A) 表示Liouvillian算符在投影子空间上的作用，其中 Dₙ 在格点基下形成托普利茨矩阵。
• 将展开式截断至一阶，推导出包含 Ω₀ 与 Ω₁ 项的自洽方程，得到包含非马尔可夫记忆贡献的闭合演化方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用组合工具，将Mori-Zwanzig形式体系中的记忆核系统地展开为格林函数的函数？
• RQ2 如何利用代数组合学，特别是贝尔多项式，精确展开记忆核的函数复合？
• RQ3 所得到的CMZE框架能否在强关联量子系统（如Hubbard模型）中产生自洽的非微扰格林函数方程？
• RQ4 CMZE能否产生在结构上类似于量子场论中图解骨架展开的展开式，即使不依赖费曼图？
• RQ5 CMZE能否推广至经典与随机多体系统？其与现有模式耦合理论相比有何表现？

主要发现

• CMZE为Hubbard模型中的退格林函数产生了一个自洽的演化方程，其中记忆核以包含 Ω₀ 与 Ω₁ 项的非马尔可夫积分形式表达，这些项由辅助矩阵导出。
• CMZE的一阶截断得到一个闭合方程：i d/dt GR(t) = ΩGR(t) + i∫₀ᵗ (Ω₀ − Ω₁)GR(t−s)ds − ∫₀ᵗ GR(s)Ω₁GR(t−s)ds，其中包含自能与顶点修正项。
• 该方法生成的非微扰展开式类似于图解骨架展开，为传统重整化微扰理论提供了一种系统性替代方案。
• 辅助矩阵 D₁、D₂、D₃ 被证明为托普利茨矩阵，其元素可显式表示为Hubbard模型参数（ϵ₀, t, U）与期望值 ⟨ni¯σ⟩ 的函数。
• CMZE框架在结构上类似于组合Dyson-Schwinger方程，可视为其时间域对应形式，为推导高阶修正提供了构造性方法。
• 该方法可通过引入密度与电流算符的高阶矩（如 D₄ 与 D₅ 中的项）系统性改进低阶近似，例如用 1/(2ω²(q)) 项修正零阶频率 ω₀²(q)。