[论文解读] Combinatorial problems in finite geometry and lacunary polynomials

Aart Blokhuis|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文应用 Rédei 的稀疏多项式理论来解决有限几何中的组合问题，特别是关于有限射影平面上的阻塞集和方向集的问题。研究建立了阻塞集大小的紧致下界，并刻画了具有少量方向的函数，证明在 $PG(2,p)$ 中，最小阻塞集的大小至少为 $3(p+1)/2$，且仅在特定多项式条件下取等。

ABSTRACT

We describe some combinatorial problems in finite projective planes and indicate how Rédei's theory of lacunary polynomials can be applied to them.

研究动机与目标

• 将 Rédei 的稀疏多项式理论应用于解决有限射影平面上的极值组合问题。
• 刻画从 $GF(q) \to GF(q)$ 的函数 $f$，使其确定的方向数较少，特别是当 $|D_f|$ 接近理论最小值时。
• 在 $q$ 为素数时，建立 $PG(2,q)$ 中非平凡阻塞集大小的紧致下界。
• 利用代数与多项式方法，对达到最小大小的阻塞集配置进行分类。
• 将关于方向集与阻塞集的结果推广至高阶阻塞集与极大弧，特别是在 $n$-重阻塞集满足 $t < q^{1/6}$ 的情形。

提出的方法

• 利用 Rédei 的辅助多项式 $R(X,Y) = \prod_{w \in GF(q)} (X - wY + f(w))$ 来编码函数的图像及其方向集。
• 分析当 $y \in D_f$ 时的特殊化形式 $R(X,y)$，表明其变为稀疏多项式 $X^q + g(X)$，其中 $\deg(g) \leq q - |D_f| - 1$，从而将方向数与多项式稀疏性联系起来。
• 应用稀疏多项式理论，特别是 $f(X) = X^q g(X) + h(X)$ 且 $\gcd(g,h)=1$ 的结构，推导出对 $g$ 与 $h$ 的次数约束。
• 利用 $p^e$-次幂的概念，根据其代数结构对函数进行分类，尤其关注 $f \in GF(q)[X^{p^e}]$ 的情形。
• 通过将平面坐标化使得无穷远直线为切线，将 Rédei 多项式应用于阻塞集，从而得到稀疏形式 $f(X) = X^q g(X) + h(X)$，其中 $\deg(g) = d$ 且 $\deg(h) \leq d+1$。
• 运用对称函数理论及初等对称多项式性质，推导出当 $i > |D_f|$ 时 $r_i(Y) \equiv 0$，从而在多项式展开中产生稀疏结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为素数时，$PG(2,p)$ 中非平凡阻塞集的最小大小是多少？哪些构型可达到该界？
• RQ2 哪些函数 $f: GF(q) \to GF(q)$ 仅确定少量方向？其代数结构如何刻画？
• RQ3 在 $PG(2,q)$ 中，若一组 $q + d$ 个仿射点与 $d$ 个无穷远点构成阻塞集，则其对应的多项式需满足何种约束？
• RQ4 能否完全通过稀疏多项式方法刻画 $PG(2,q)$ 中极大弧的结构，特别是当 $n$ 为奇数时？
• RQ5 函数 $f$ 满足 $|D_f| < (q+3)/2$ 的必要与充分条件是什么？这与其在子域上的代数形式有何关联？

主要发现

• 当 $q = p$ 为素数时，$PG(2,p)$ 中任意非平凡阻塞集的大小至少为 $3(p+1)/2$，且仅当每个点恰好位于 $(p-1)/2$ 条切线上时取等。
• 若 $f: GF(q) \to GF(q)$ 为非线性函数且满足 $|D_f| < (q+3)/2$，则 $f$ 是子域 $GF(p^e)$ 上的线性映射，其中 $p^e > 3$，或 $p^e = 3$ 且 $|D_f| = q/3 + 1$。
• 对于满足 $t < q^{1/6}$ 的 $PG(2,q)$ 中的 $t$-重阻塞集，其最小大小为 $t(q + \sqrt{q} + 1)$，且当且仅当该集合是 $t$ 个不相交的 Baer 子平面的并集时达到。
• 当 $q = p$ 为素数时，大小为 $3(p+1)/2$ 的最小阻塞集在 $p \neq 7,13$ 时在等价意义下唯一，且对所有 $p \leq 37$ 可通过计算机搜索对所有此类构型进行分类。
• 当 $Y = y \in D_f$ 时，Rédei 多项式 $R(X,Y)$ 特殊化为稀疏多项式 $X^q + g(X)$，且 $g$ 的次数给出了 $|D_f|$ 的下界。
• 对于 $f(X) = X^q g(X) + h(X)$ 且 $\gcd(g,h)=1$ 的情形，令 $k = \max(\deg g, \deg h)$，则 $k$ 满足一系列依赖于最大 $e$ 的下界，其中 $f \in GF(q)[X^{p^e}]$，且在每种情况下均有紧致约束。