[论文解读] Combinatorial Quantisation of GL(1|1) Chern-Simons Theory I: The Torus

Nezhla Aghaei, Azat M. Gainutdinov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于单纯剖分和单值代数的GL(1|1) Chern-Simons理论在环面上的组合化量化方案。它构建了量子态空间，并给出了一个显式的SL(2, Z)表示，证明该表示与在单位根为k次本原单位根时受限的量子普遍包络代数中心上的Lyubachenko-Majid作用等价。

ABSTRACT

Chern-Simons Theories with gauge super-groups appear naturally in string theory and they possess interesting applications in mathematics, e.g. for the construction of knot and link invariants. This paper is the first in a series where we propose a new quantisation scheme for such super-group Chern-Simons theories on 3-manifolds of the form $Σ imes \mathbb{R}$. It is based on a simplicial decomposition of an n-punctured Riemann surface $Σ=Σ_{g,n}$ of genus g and allows to construct observables of the quantum theory for any g and n from basic building blocks, most importantly the so-called monodromy algebra. In this paper we restrict to the torus case, i.e. we assume that $Σ= T^2$, and to the gauge super-group G=GL(1|1). We construct the corresponding space of quantum states for the integer level k Chern-Simons theory along with an explicit representation of the modular group SL(2,Z) on these states. The latter is shown to be equivalent to the Lyubachenko-Majid action on the centre of a restricted version of the quantised universal enveloping algebra of the Lie super-algebra gl(1|1) at the primitive k-th root of unity.

研究动机与目标

• . 开发一种新的组合化量化框架，用于形式为Σ × R的3-流形上的超群Chern-Simons理论。
• . 构建GL(1|1) Chern-Simons理论在环面（Σ = T²）上的量子态与模群表示。
• . 建立从扶手代数导出的模群作用与受限量子普遍包络代数中心上Lyubachenko-Majid作用之间的等价性。
• . 为推广至具有穿孔的高亏格黎曼曲面及其他I型整数级超群奠定基础。

提出的方法

• . 使用环面的单纯剖分来定义单值（或环路）代数作为基本构建模块。
• . 构造扶手代数T及其Fock表示以描述量子态。
• . 将规范不变子代数A定义为超群G = GL(1|1)的余作用的核。
• . 通过Uq(gl(1|1))的R矩阵和辫子元作用于扶手代数，实现模群SL(2, Z)的作用，该作用由德恩扭转实现。
• . 将扶手代数导出的SL(2, Z)作用与Lyubachenko-Majid在受限量子普遍包络代数中心上的构造进行比较。
• . 通过在量子群中使用k次本原单位根，证明了两种SL(2, Z)作用在整数级k下等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 如何为3-流形上的超群Chern-Simons理论制定组合化量化方案？
• RQ2 . GL(1|1) Chern-Simons理论在环面上的量子态空间结构是什么？
• RQ3 . 在该框架中模群SL(2, Z)如何实现？其是否与量子群中心上已知作用等价？
• RQ4 . 该组合构造能否推广至具有穿孔的高亏格黎曼曲面？
• RQ5 . 理论在整数级k下行为如何？k次本原单位根在量子群结构中起什么作用？

主要发现

• . GL(1|1) Chern-Simons理论在环面上的量子态空间通过扶手代数的Fock表示被显式构建。
• . 模群SL(2, Z)通过Uq(gl(1|1))的R矩阵和辫子元编码的德恩扭转作用于量子态。
• . 从扶手代数导出的SL(2, Z)作用被证明与在整数级k下受限量子普遍包络代数中心上的Lyubachenko-Majid作用等价。
• . 该等价性在整数级k下成立，此时量子群成为有限维超H opf代数。
• . 该构造为使用相同单值代数作为核心构建模块，推广至具有穿孔的高亏格曲面提供了规范框架。
• . 该方法在单纯剖分下具有鲁棒性，最小剖分（一个0-胞腔，2g+n个1-胞腔，n+1个2-胞腔）已足以保留全部物理内容。