[论文解读] Combinatorial Ricci curvature on cell-complex and Gauss-Bonnnet Theorem

Kazuyoshi Watanabe|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过在组合微分形式上应用Bochner-Weitzenb"ock公式，结合链复形上的$L^2$内积与Laplacian，提出了一种在胞腔复形上定义的新组合Ricci曲率。该研究建立了图和分解为闭曲面的2复形的Gauss-Bonnet型定理，表明对于2复形，顶点与面的Gauss曲率之和等于$4\chi(M)$；对于图，该和等于$2\chi(G)$。

ABSTRACT

In this paper we present the Ricci curvature on cell-complexes and show the Gauss-Bonnnet type theorem on graphs and 2-complex that decomposes closed surface. The defferential forms on a cell complex is defined as linear maps on chain complex, and Laplacian operates this defferential forms. Then we construct the Bochner-Weitzenböck formula and define the Ricci curvature. This curvature is determined by the combinatorial calculation. We show also the properties of combinatorial vector fields on a cell complex

研究动机与目标

• 通过微分形式和Bochner-Weitzenb"ock公式，在胞腔复形上定义一种新的组合Ricci曲率。
• 为分解为闭曲面的有限图和二维胞腔复形建立Gauss-Bonnet型定理。
• 通过在常数权重下对Ricci曲率形式的迹，定义顶点和面上的标量曲率与Gauss曲率。
• 通过离散微分形式和加权链复形，将光滑Riemann曲率概念推广至离散胞腔复形。

提出的方法

• 将组合微分形式定义为正则胞腔复形的胞腔链复形上的局部线性映射。
• 利用胞胞上的正权重，在组合微分形式上引入$L^2$内积。
• 在$L^2$内积下，通过微分算子的伴随运算，定义组合微分形式上的Laplacian。
• 通过组合Bochner-Weitzenb"ock公式构造Ricci曲率，涉及平行向量场以及0-和2-邻接向量。
• 将某胞胞上的Ricci曲率定义为涉及相邻胞胞上1-形式的权重与分量的二次型。
• 在常数权重下，推导出顶点和面上Gauss曲率的表达式，即作为Ricci曲率张量迹的归一化形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过离散微分形式和Bochner-Weitzenb"ock公式在胞腔复形上定义组合Ricci曲率？
• RQ2 在此曲率定义下，分解为闭曲面的有限图和2复形是否满足Gauss-Bonnet型定理？
• RQ3 顶点或面上的Ricci曲率如何依赖于局部胞胞结构与权重？
• RQ4 在常数权重下，顶点或面上的Gauss曲率是否与单位向量的选择无关？
• RQ5 能否将标量曲率定义为Ricci曲率的迹？其求和是否产生拓扑不变量？

主要发现

• 对于有限简单图，所有顶点的Gauss曲率之和等于$2\chi(G)$，其中$\chi(G)$为Euler示性数。
• 对于分解为闭曲面的二维拟凸胞腔复形，顶点与面的Gauss曲率之和等于$4\chi(M)$。
• 在常数权重下，顶点$v$处的Gauss曲率为$g_v = 4 - \operatorname{deg}(v)$，面$f$处的Gauss曲率为$g_f = 4 - \operatorname{deg}(f)$。
• 在边$e > v$处，Ricci曲率为$\operatorname{Ric}(\omega)(e>v) = (2 - \#\{0\text{-邻接向量的} \tau > \sigma\})(\omega^\tau_\sigma)^2$。
• 顶点$v$处的标量曲率为$S(v) = \operatorname{deg}(v)(4 - \operatorname{deg}(v))$，面$f$处的标量曲率为$S(f) = \operatorname{deg}(f)(4 - \operatorname{deg}(f))$。
• 归一化后，标量曲率可导出Gauss曲率：$g_v = S(v)/\operatorname{deg}(v) = 4 - \operatorname{deg}(v)$ 且 $g_f = S(f)/\operatorname{deg}(f) = 4 - \operatorname{deg}(f)$。