[论文解读] Combinatorial Secretary Problems with Ordinal Information

Martin Hoefer, Bojana Kodric|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了在仅提供相对排名（ordinal information）的组合秘书问题，即算法仅能获取到达元素的相对排序，而非精确的数值。论文提出了针对二分图匹配、一般打包线性规划（LP）及局部独立数有界的图中独立集问题的新型常数竞争比算法。同时证明了基于阈值的方法在序数模型中失效，并为结构无关的算法建立了 Ω(√n/log n) 的下界。

ABSTRACT

The secretary problem is a classic model for online decision making. Recently, combinatorial extensions such as matroid or matching secretary problems have become an important tool to study algorithmic problems in dynamic markets. Here the decision maker must know the numerical value of each arriving element, which can be a demanding informational assumption. In this paper, we initiate the study of combinatorial secretary problems with ordinal information, in which the decision maker only needs to be aware of a preference order consistent with the values of arrived elements. The goal is to design online algorithms with small competitive ratios. For a variety of combinatorial problems, such as bipartite matching, general packing LPs, and independent set with bounded local independence number, we design new algorithms that obtain constant competitive ratios. For the matroid secretary problem, we observe that many existing algorithms for special matroid structures maintain their competitive ratios even in the ordinal model. In these cases, the restriction to ordinal information does not represent any additional obstacle. Moreover, we show that ordinal variants of the submodular matroid secretary problems can be solved using algorithms for the linear versions by extending [Feldman and Zenklusen, 2015]. In contrast, we provide a lower bound of Omega(sqrt(n)/log(n)) for algorithms that are oblivious to the matroid structure, where n is the total number of elements. This contrasts an upper bound of O(log n) in the cardinal model, and it shows that the technique of thresholding is not sufficient for good algorithms in the ordinal model.

研究动机与目标

• 研究在仅知元素相对排序而非精确数值的序数模型下的组合秘书问题。
• 确定现有基数模型算法是否可被调整以在序数信息下实现相近的竞争比。
• 为关键组合问题（如二分图匹配与独立集）设计新型在线算法，使其在序数模型下实现常数竞争比。
• 通过证明在拟阵秘书问题中，对结构无关算法的 Ω(√n/log n) 下界，确立序数算法的根本限制。
• 探讨序数模型下线性与子模拟阵秘书问题变体之间的关系。

提出的方法

• 通过将对精确权重的依赖替换为基于到达值相对顺序的比较，将现有基数模型算法适配至序数模型。
• 引入两阶段采样策略：第一阶段为学习阶段以构建代表性样本，第二阶段基于序数比较进行贪心选择。
• 针对二分图匹配，通过将顶点划分为左右两组，利用采样子图上的贪心匹配来引导边的选择，扩展采样方法。
• 针对一般图与独立集问题，采用随机采样技术：以概率 p = √(α₁/(α₁+1)) 将顶点分配至样本集，随后通过带随机翻转的贪心选择进行处理。
• 利用概率界与马尔可夫不等式分析性能，将解的期望权重与最优离线解进行关联。
• 将算法重新表述为等价的模拟形式（如算法7），以简化分析，同时保持竞争比保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有拟阵秘书问题的常数竞争比算法能否在不损失性能的前提下适配至序数模型？
• RQ2 在仅提供序数信息的条件下，线上二分图匹配的最佳可实现竞争比是多少？
• RQ3 当仅能获取序数信息时，能否为一般打包线性规划与独立集问题设计常数竞争比算法？
• RQ4 在基数模型中有效的阈值技术，在序数模型中是否足以实现良好性能？
• RQ5 在序数秘书问题设置下，不利用拟阵或图结构的算法存在哪些根本性限制？

主要发现

• 为在序数信息下实现线上二分图匹配，设计出 2e-competitive 的算法，达到常数竞争比。
• 针对每变量最多含 d 个非零项的一般打包线性规划，提出 O(d(B+1)/B)-competitive 的算法，其中 B 为紧致性参数。
• 为一般图中的线上匹配设计出 8.78-competitive 的算法，后通过优化采样策略改进为 12e/(e+1) < 8.78。
• 为局部独立数 α₁ 有界的图中加权独立集问题，实现 O(α₁²)-competitive 的算法，其中单位圆图中 α₁ = 5。
• 在序数信息下，为结构无关算法在拟阵秘书问题中证明了 Ω(√n / log n) 的下界，表明阈值法不足。
• 序数模型并未降低许多拟阵秘书算法的性能，因为针对特殊拟阵类型的现有常数竞争比算法在序数访问下依然有效。