[论文解读] Combinatorial Spacetimes

David W. Hillman|ArXiv.org|May 12, 1998

Genome Rearrangement Algorithms被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种离散的、组合的时空模型，其中有限区域由有限类别的局部邻域构建而成，避免使用连续度量。在1+1维中，通过矩阵、图和张量表示，表明组合等价映射——与符号动力学中的流等价密切相关——生成局部的、信息保持的变换，并建立了这些映射的对称张量代数与可交换的共可交换双代数之间的同构关系。

ABSTRACT

I investigate a class of dynamical systems in which finite pieces of spacetime contain finite amounts of information. Most of the guiding principles for designing these systems are drawn from general relativity: the systems are deterministic; spacetime may be foliated into Cauchy surfaces; the law of evolution is local (there is a light-cone structure); and the geometry evolves locally (curvature may be present; big bangs are possible). However, the systems differ from general relativity in that spacetime is a combinatorial object, constructed by piecing together copies of finitely many types of allowed neighborhoods in a prescribed manner. Hence at least initially there is no metric. The role of diffeomorphism is played by a combinatorial equivalence map which is local and preserves information content. Most of my results come in the 1+1-dimensional oriented case. There sets of spaces may be described equivalently by matrices of nonnegative integers, directed graphs, or symmetric tensors; local equivalences between space sets are generated by simple matrix transformations. These equivalence maps turn out to be closely related to the flow equivalence maps between subshifts of finite type studied in symbolic dynamics. Also, the symmetric tensor algebra generated by equivalence transformations turns out to be isomorphic to the abstract tensor algebra generated by commutative cocommutative bialgebras. In higher dimensions I study the case where space is a special type of colored graph (discovered by Pezzana) which may be interpreted as an n-dimensional pseudomanifold. Finally, I show how one may study the behavior of combinatorial spacetimes by searching for constants of motion, which typically are associated with local flows and often may be interpreted in terms of particles.

研究动机与目标

• 开发一种离散的、有限的时空模型，尊重广义相对论的核心原则，如决定论、局部演化和柯西叶层结构，同时放弃连续度量。
• 探索时空几何如何从组合结构中涌现，特别是通过规定方式组合有限类别的局部邻域。
• 通过局部的、信息保持的等价映射，定义离散时空中的微分同胚不变性的组合类比。
• 建立组合时空变换与符号动力学及代数拓扑中既定数学结构之间的联系。
• 通过Pezzana定义的彩色图（表示n维伪流形）将该框架推广至高维。

提出的方法

• 将时空建模为通过拼接有限类别的允许局部邻域构成的组合复形，形成离散的、有限的结构。
• 使用非负整数矩阵、有向图和对称张量表示1+1维时空构型，实现代数分析。
• 将时空构型之间的局部等价映射定义为由初等矩阵运算生成的变换，保持信息内容。
• 将这些等价映射与符号动力学中有限型子移位的流等价映射相联系，建立深层次的结构关联。
• 构造由等价变换生成的对称张量代数，并证明其与可交换共可交换双代数上的抽象张量代数同构。
• 通过Pezzana的彩色图将模型推广至高维，这些图编码n维伪流形，支持组合曲率与拓扑的描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从有限类别的局部邻域类型集合中构建一个有限的、离散的时空，同时保持广义相对论的关键特征？
• RQ2 在离散时空中，微分同胚不变性的组合类比是什么，如何从代数角度刻画它？
• RQ3 1+1维中时空构型之间的等价映射在多大程度上对应于符号动力学中的已知结构？
• RQ4 组合时空等价变换的代数结构能否被完全刻画，其与双代数的关系如何？
• RQ5 如何在更高维时空的离散组合框架中编码曲率与全局拓扑？

主要发现

• 在1+1维中，组合时空构型可等价地由非负整数矩阵、有向图和对称张量描述。
• 时空构型之间的局部等价映射由初等矩阵变换生成，且与有限型子移位中的流等价映射同构。
• 由这些等价变换生成的对称张量代数，与可交换共可交换双代数上的抽象张量代数同构。
• 组合时空中的守恒量通常对应于局部流，可解释为类粒子实体。
• 在高维中，该模型使用Pezzana的彩色图表示n维伪流形，支持对拓扑与曲率的组合描述。
• 该框架支持一种离散的、有限的、局部的动力学，尊重因果性和信息守恒，为背景无关的量子引力模型提供候选方案。