[论文解读] Combinatorial $t$-designs from special polynomials

Cunsheng Ding, Chunming Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文利用有限域上特殊的多项式，特别是 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式和 o-单项式，提出了两种 $t$-设计的一般构造方法。研究证明，o-多项式通过第一种构造可生成 $2$-设计和 $3$-设计，而 o-单项式可生成 $3$-设计；第二种构造进一步扩展，使得 o-多项式可生成 $3$-设计，且通过猜想与实验数据支持了在 Cherowitzo、Payne 和 Subiaco 等特定家族中此类设计的存在性。

ABSTRACT

Combinatorial $t$-designs have nice applications in coding theory, finite geometries and several engineering areas. There are two major methods of constructing $t$-designs. One of them is via group actions of certain permutation groups which are $t$-transitive or $t$-homogeneous on some point set. The other is a coding-theoretical one. The objectives of this paper are to introduce two constructions of $t$-designs with special polynomials over finite fields GF$(q)$, and obtain $2$-designs and $3$-designs with interesting parameters. A type of d-polynomials is defined and used to construct $2$-designs. Under the framework of the first construction, it is shown that every o-polynomial over GF$(2^m)$ gives a $2$-design, and every o-monomial over GF$(2^m)$ yields a $3$-design. Under the second construction, every $o$-polynomial gives a $3$-design. Some open problems and conjectures are also presented in this paper.

研究动机与目标

• 通过有限域上的多项式，特别是 o-多项式和 o-单项式等特殊类型，发展 $t$-设计的一般构造方法。
• 建立组合 $t$-设计与有限域多项式之间的联系，特别是与超椭圆和射影平面相关的多项式。
• 利用 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式和 o-单项式，构造具有显式参数的 $2$-与 $3$-设计的无限族。
• 探讨所构造设计的自同构性质与不变性，区分仿射不变与非仿射不变的情形。
• 提出开放问题与猜想，特别是关于扩展构造中块集大小的问题，以激发基于多项式的设计理论的进一步研究。

提出的方法

• 通过图像集 $B_{(f,b,c)} = \{f(x) + bx + c \mid x \in \mathrm{GF}(q)\}$ 定义 $t$-设计的一般构造，其中 $f$ 是 $\mathrm{GF}(q)$ 上的多项式，且根据大小 $k$ 选择块。
• 第一种构造利用一般仿射群 $\mathrm{GA}_1(\mathrm{GF}(q))$ 的作用，证明当 $f$ 是置换多项式时生成 $2$-设计，当 $f$ 是 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-单项式时生成 $3$-设计。
• 第二种构造将块集扩展为包含三元组 $(a,b,c)$ 的形式 $\hat{\mathcal{B}}_{(f,k)}$，并证明对任意多项式 $f$ 均可生成 $2$-设计，且在特定条件下可生成 $3$-设计。
• 本文将 d-多项式定义为一类支持 $2$-设计的特殊多项式，并利用其性质从一般 o-多项式推导出 $2$-设计。
• 对于奇数 $q$，本文研究了 $\mathrm{GF}(q)$ 上多项式生成的 $2$-设计，表明某些对称设计可由特定多项式形式生成。
• 引入扩展构造 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$，其中 $\hat{\mathcal{B}}_{(f,k)}$ 定义在 $\mathrm{GF}(q)^3$ 上，证明当 $f$ 是满足 $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ 的 o-多项式时，该构造可生成 $3$-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式，通过基于多项式的通用构造方法生成 $3$-设计？
• RQ2 在何种条件下，扩展构造 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ 可生成 $3$-设计而非仅 $2$-设计？
• RQ3 所有满足 $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ 的 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式是否都生成 $3$-设计？该结论能否对 Cherowitzo、Payne 和 Subiaco 等家族的 o-多项式得到证明？
• RQ4 由 o-多项式构造的 $3$-设计是否为仿射不变？其自同构群与 $2$-设计的自同构群相比有何差异？
• RQ5 扩展构造 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ 是否能对非单项式 o-多项式生成 $t$-设计（$t \geq 3$）？其必要与充分条件是什么？

主要发现

• 每个 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式通过第一种构造均可生成 $2$-设计，而每个 o-单项式在相同框架下均可生成 $3$-设计。
• 第二种构造可从 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的 o-多项式生成 $3$-设计，块大小为 $k = q/2 = 2^{m-1}$，当 $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ 时，设计参数 $\lambda = (q-4)(q-1)q/8$。
• 对于奇数 $m \geq 5$，Magma 实验对 $m \in \{5,7,9\}$ 的支持表明，非等价 o-多项式（非形式为 $(ax+b)^e + b^e$ 的）满足 $|\hat{\mathcal{B}}_{(f,q/2)}| = q(q-1)^2$ 的猜想，暗示这些情形下存在 $3$-设计。
• 所构造的 $3$-设计不一定是仿射不变的，其 $3$-设计性质必须通过直接验证，表明其具有特殊的结构。
• 扩展构造 $\hat{\mathbb{D}}(f,k)$ 对任意 o-多项式均生成 $2$-设计，当块集大小条件满足时可生成 $3$-设计，表明 o-多项式在生成 $t \geq 3$ 的 $t$-设计方面极为有效。
• 本文证明，由 o-多项式生成的 $2$-设计不总是仿射不变，这使其在设计理论中尤为引人注目，因为它们源于非对称群作用。