[论文解读] Combinatorial theorems relative to a random set

David Conlon|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 104被引用 32

一句话总结

本文综述了近期关于经典组合定理（如拉姆齐、图论极值和塞泽梅迪型结果）在稀疏随机与伪随机图中的类比进展。文章提出了三种不同方法——传递性原理、多轮暴露法与超图容器技术——在随机与伪随机图中建立了这些定理的精确阈值，关键结果表明：满足 $\beta \leq cp^tn$ 的伪随机图继承了稠密图的许多极值性质。

ABSTRACT

We describe recent advances in the study of random analogues of combinatorial theorems.

研究动机与目标

• 统一并综述随机与伪随机图中基础组合定理类比的最新突破。
• 识别并分析三种用于证明极值组合结果稀疏类比的通用方法。
• 建立伪随机图（特别是 $(p,\beta)$-混乱图）继承稠密图中拉姆齐、图论极值与去除引理等性质的条件。
• 通过证明 $\beta \leq cp^tn$ 是关键结果的充分条件，填补理解空白，其结果对塞泽梅迪定理及素数中的等差数列具有重要意义。

提出的方法

• 采用格林与陶哲轩提出的传递性原理，并经高斯与作者改进，将稠密情形的结果推广至稀疏情形。
• 采用受罗德与鲁钦斯基启发的多轮暴露技术，证明随机图中拉姆齐型定理的阈值结果。
• 应用巴洛格、莫里斯与萨莫蒂吉以及萨克斯顿与托马森开发的超图容器方法，控制超图中的独立集。
• 通过 $(p,\beta)$-混乱图定义伪随机性条件，其中 $|e(X,Y) - p|X||Y|| \leq \beta\sqrt{|X||Y|}$，以模拟随机行为。
• 将上述方法应用于证明伪随机图中三角形去除引理、拉姆齐性质与图论极值型定理的稀疏类比。
• 在不同伪随机性假设下将结果推广至超图，从而获得塞泽梅迪定理的伪随机类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稀疏随机图中，拉姆齐型、图论极值型与塞泽梅迪型定理的精确阈值是什么？
• RQ2 去除引理能否推广至伪随机图的子图？在何种伪随机性条件下成立？
• RQ3 使 $(p,\beta)$-混乱图满足 $K_t$-拉姆齐或 $K_t$-图论极值性质的最小伪随机参数 $\beta$ 是多少？
• RQ4 三种不同方法——传递性、多轮暴露与容器方法——在证明组合定理稀疏类比时有何异同？
• RQ5 能否在不依赖相关性条件的情况下证明塞泽梅迪定理的伪随机类比？新方法在此中起何作用？

主要发现

• 对任意 $t$ 与 $\epsilon > 0$，存在 $\delta, c > 0$，使得若 $\beta \leq cp^tn$，则任意 $n$ 个顶点的 $(p,\beta)$-混乱图满足稀疏去除引理：任何包含至多 $\delta p^{\binom{t}{2}}n^t$ 个 $K_t$ 的子图，仅需删除至多 $\epsilon pn^2$ 条边即可变为 $K_t$-自由图。
• $\beta \leq cp^tn$ 是伪随机图中 $K_t$-拉姆齐与 $K_t$-图论极值性质的充分条件，且对 $t=3$ 该界是紧的。
• 对三角形（$t=3$）而言，当 $\beta \leq cp^3n$ 时，去除引理在伪随机图中成立；但可能进一步改进至 $\beta \leq cp^2n$，这将由阿隆的例子表明为最优。
• 福克斯、赵与作者的方法在伪随机性条件下可推广至超图，从而得到塞泽梅迪定理的伪随机类比。
• 该结果消除了格林与陶哲轩原始证明中对相关性条件的依赖，该证明表明素数中包含任意长的等差数列。
• 三种方法——传递性、多轮暴露与容器方法——各自提供了独特而强大的工具，用于证明极值组合定理的稀疏类比，在拉姆齐理论、图论极值理论与加法组合数学中具有广泛适用性。