[论文解读] Combinatorial theory of permutation-invariant random matrices I: partitions, geometry and renormalization

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 12

一句话总结

本文引入了一种基于距离的集合划分新序关系，推广了Bruhat序，并为置换不变性随机矩阵提供了一个统一的框架。它在划分的线性形式上建立了霍普夫代数结构，定义了新的卷积和Kreweras型补集，并将其应用于刻画随机矩阵系列表 moments 收敛与高阶波动。

ABSTRACT

In this article, we define and study a geometry and an order on the set of partitions of an even number of objects. One of the definitions involves the partition algebra, a structure of algebra on the set of such partitions depending on an integer parameter N. Then we emulate the theory of random matrices in a combinatorial framework: for any parameter N, we introduce a family of linear forms on the partition algebras which allows us to define a notion of weak convergence similar to the convergence in moments in random matrices theory. A renormalization of the partition algebras allows us to consider the weak convergence as a simple convergence in a fixed space. This leads us to the definition of a deformed partition algebra for any integer parameter N and to the definition of two transforms: the cumulants transform and the exclusive moments transform. Using an improved triangular inequality for the distance defined on partitions, we prove that the deformed partition algebras, endowed with a deformation of the linear forms converge as N go to infinity. This result allows us to prove combinatorial properties about geodesics and a convergence theorem for semi-groups of functions on partitions. At the end we study a sub-algebra of functions on infinite partitions with finite support : a new addition operation and a notion of R-transform are defined. We introduce the set of multiplicative functions which becomes a Lie group for the new addition and multiplication operations. For each of them, the Lie algebra is studied. The appropriate tools are developed in order to understand the algebraic fluctuations of the moments and cumulants for converging sequences. This allows us to extend all the results we got for the zero order of fluctuations to any order.

研究动机与目标

• 使用集合划分上的新距离，发展一个几何与组合框架，用于置换不变性随机矩阵。
• 将Kreweras补集与Bruhat序推广到2k元素集上的更广分类划分。
• 在划分的线性形式上构建代数结构——霍普夫代数、卷积与双代数。
• 利用新的组合工具刻画置换不变性随机矩阵序列的矩收敛与波动。
• 为非独立同分布随机矩阵设定中广义自由性与迹代数的基础。

提出的方法

• 使用公式 $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ 定义划分上的距离函数，对任意固定划分 $ b $，由此诱导出测地序 $ \leq_b $。
• 通过分解为更简单的序关系刻画序 $ \leq_b $，描述其哈斯图，并计算其莫比乌斯函数。
• 将距离与序结构应用于集合 $ \mathcal{P}_k = \mathcal{P}(\{1,\dots,k,1',\dots,k'\}) $，证明 $ (\mathsf{P}_k, \trianglelefteq) $ 与 $ (\mathsf{NC}_k, \trianglelefteq) $ 嵌入到 $ (\mathcal{P}_k, \leq) $ 中。
• 将Kreweras补集推广至 $ \mathcal{P}_k $，证明其满足因子分解性质，并与缺陷函数 $ \text{df}(p,p') $ 相关。
• 在空间 $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ 上赋予两个卷积 $ \boxplus $、$ \boxtimes $，并定义与特征函数及无穷小特征函数相容的三角变换。
• 通过可观测量序列 $ (E_t^N) $ 定义高阶波动，并利用新卷积结构推导出累积量与矩的微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用划分上的几何距离定义一个自然序，使其推广Bruhat序？
• RQ2 Kreweras补集能否从非交叉划分扩展到2k元素集上的全部划分？
• RQ3 从这些有序划分的组合学中，自然涌现出哪些代数结构——如霍普夫代数或双代数？
• RQ4 这些新卷积与投影如何与随机矩阵理论中矩与累积量生成函数相关联？
• RQ5 这些结构以何种方式刻画置换不变性随机矩阵序列的收敛与波动？

主要发现

• 距离函数 $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ 在划分集合上定义了一个有效度量，从而诱导出测地序 $ \leq_b $。
• 在 $ \mathcal{P}_k $ 上的序 $ \leq $ 嵌入了经典划分格 $ \mathsf{P}_k $ 与非交叉划分格 $ \mathsf{NC}_k $，推广了更精细的序 $ \trianglelefteq $。
• 在 $ \mathcal{P}_k $ 上定义了广义Kreweras补集，满足因子分解性质，并将经典定义从 $ \mathsf{NC}_k $ 推广。
• 空间 $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ 通过两个卷积 $ \boxplus $ 与 $ \boxtimes $ 赋予分次连通霍普夫代数结构，且与特征函数及无穷小特征函数相容。
• 随机矩阵序列的高阶波动由微分方程 (54)–(56) 控制，通过新卷积运算将累积量与矩联系起来。
• 半群 $ (E_t^N) $ 到第 $ n $ 阶波动的收敛性，由初始数据与漂移的收敛性表征，且矩与累积量具有显式演化方程。