[论文解读] Combinatorial Voter Control in Elections
本文引入了选举中的组合选民控制，其中添加一个选民需同时添加预定义的选民组合包，并研究了在多数制和康多尔塞投票规则下的计算复杂性。结果表明，尽管大多数变体是计算上困难的，但对于具有完整-d捆绑函数的单交叉选举，仍存在多项式时间算法，突显了在普遍困难背景下的一个可解情况。
Voter control problems model situations such as an external agent trying to affect the result of an election by adding voters, for example by convincing some voters to vote who would otherwise not attend the election. Traditionally, voters are added one at a time, with the goal of making a distinguished alternative win by adding a minimum number of voters. In this paper, we initiate the study of combinatorial variants of control by adding voters: In our setting, when we choose to add a voter~$v$, we also have to add a whole bundle $κ(v)$ of voters associated with $v$. We study the computational complexity of this problem for two of the most basic voting rules, namely the Plurality rule and the Condorcet rule.
研究动机与目标
- 将添加选民的组合变体形式化并分析，其中添加一个选民会触发添加一组预定义的关联选民。
- 研究在多数制和康多尔塞投票规则下，该问题的计算复杂性。
- 确定诸如单交叉或单峰偏好等结构假设是否能降低问题的复杂性。
- 识别可解情况并刻画可解与不可解实例之间的边界。
- 为计算社会选择中的组合控制奠定基础，超越传统单位成本添加选民的范式。
提出的方法
- 将选民控制建模为组合优化问题，其中每个添加的选民均带有由捆绑函数 κ(v) 定义的固定关联选民组合包。
- 利用单交叉偏好作为结构约束，以支持高效算法，借助唯一能保持候选人偏好顺序的选民排序。
- 对于多数制，通过猜测可能包含非-p选民的两个最外层组合包，将问题约化为最大区间覆盖问题。
- 对于康多尔塞规则，猜测单交叉顺序中中位数p选民的位置，并将剩余选民划分为左右两部分，通过最小子集选择求解。
- 应用已知的多项式时间算法求解区间覆盖和子集选择等子问题，实现高效求解。
- 通过关于中位数选民性质和单交叉选举中选民块结构的引理，证明算法的正确性。
实验结果
研究问题
- RQ1当选民以组合包形式而非单独添加时，添加选民的控制是否具有可解性？
- RQ2单交叉选民偏好结构是否能为组合选民控制提供多项式时间算法，即使在标准选民控制问题中此类结构通常难以处理？
- RQ3组合选民控制在多数制与康多尔塞投票规则下的复杂性有何不同？
- RQ4尽管问题总体上难以计算，捆绑选民是否仍能导致可解情况？
- RQ5哪些结构假设（如单交叉、单峰）能降低组合选民控制的复杂性？
主要发现
- 多数制 - C-CC-AV 在具有完整-d捆绑函数的单交叉选举中可多项式时间求解，通过约化为最大区间覆盖问题实现。
- 康多尔塞 - C-CC-AV 在相同条件下也可多项式时间求解，采用基于猜测的算法，利用中位数选民性质。
- 康多尔塞 - C-CC-AV 的算法时间复杂度为 O(|V ∪ W|² · |W|⁴)，依赖于猜测中位数选民位置并求解子集选择子问题。
- 单交叉偏好降低了组合选民控制的复杂性，这与标准控制问题中此类假设通常降低复杂性的现象不同。
- 单峰偏好在此设置下未能降低复杂性，表明组合控制在该结构下本质上更困难。
- 结果表明，组合控制模型为计算社会选择开辟了丰富的新方向，其可解性与困难性取决于结构约束。
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