[论文解读] Combinatorial Walrasian Equilibrium

Michal Feldman, Nick Gravin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Auction Theory and Applications参考文献 32被引用 18

一句话总结

本文提出了组合型 Walrasian 均衡（CWE），作为 Walrasian 均衡的一种松弛形式，允许物品捆绑且不要求市场出清。证明了每个估值配置均存在一种 CWE，其社会福利至少达到最优社会福利的一半，并提供了一种多项式时间算法，可在给定任意初始分配的情况下计算出此类 CWE，其收益在最优福利的对数因子范围内。

ABSTRACT

We study a combinatorial market design problem, where a collection of indivisible objects is to be priced and sold to potential buyers subject to equilibrium constraints.The classic solution concept for such problems is Walrasian Equilibrium (WE), which provides a simple and transparent pricing structure that achieves optimal social welfare. The main weakness of the WE notion is that it exists only in very restrictive cases. To overcome this limitation, we introduce the notion of a Combinatorial Walrasian equilibium (CWE), a natural relaxation of WE. The difference between a CWE and a (non-combinatorial) WE is that the seller can package the items into indivisible bundles prior to sale, and the market does not necessarily clear. We show that every valuation profile admits a CWE that obtains at least half of the optimal (unconstrained) social welfare. Moreover, we devise a poly-time algorithm that, given an arbitrary allocation X, computes a CWE that achieves at least half of the welfare of X. Thus, the economic problem of finding a CWE with high social welfare reduces to the algorithmic problem of social-welfare approximation. In addition, we show that every valuation profile admits a CWE that extracts a logarithmic fraction of the optimal welfare as revenue. Finally, these results are complemented by strong lower bounds when the seller is restricted to using item prices only, which motivates the use of bundles. The strength of our results derives partly from their generality - our results hold for arbitrary valuations that may exhibit complex combinations of substitutes and complements.

研究动机与目标

• 解决在具有任意估值的组合市场中 Walrasian 均衡（WE）存在性受限的问题。
• 开发一种定价均衡概念，保持效率与透明度，同时克服 WE 严格的存在的条件限制。
• 表明允许物品捆绑并放松市场出清条件，可实现接近最优的社会福利与收益近似。
• 通过一种多项式时间算法，建立计算 CWE 的算法效率，该算法相对于任意给定分配近似最优社会福利。
• 通过证明物品定价本身在强下界方面表现不佳，证明捆绑的必要性。

提出的方法

• 将组合型 Walrasian 均衡（CWE）作为 Walrasian 均衡的松弛形式提出，允许捆绑定价和非出清市场。
• 对买家集合使用递归划分技术，按估值阈值分组，以迭代方式改进社会福利近似。
• 在每次迭代中定义社会福利与收益度量，追踪各轮次之间社会福利的下降与收益的增加。
• 应用分摊论证以界定连续迭代之间的福利损失，证明至少有一轮能带来显著收益。
• 利用对捆绑物品的需求查询，计算在捆绑所诱导的简化市场结构下的最优分配。
• 证明该算法在多项式时间内运行，并保证获得最优社会福利的 1/2 近似值，以及最优收益的 1/O(log n) 近似值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Walrasian 均衡无法存在的组合市场中，能否保证存在一种具有近似最优社会福利的定价均衡？
• RQ2 允许卖家捆绑物品并放弃市场出清，是否能显著改善均衡结果的存在性与效率？
• RQ3 能否设计一种多项式时间算法，计算出对任意给定分配均能达到常数因子社会福利近似的 CWE？
• RQ4 通过 CWE 可实现的最佳收益近似是多少？与最优社会福利相比如何？
• RQ5 在存在互补性的情况下，CWE 的性能保证与仅使用物品定价相比如何？

主要发现

• 每个估值配置均存在一种组合型 Walrasian 均衡（CWE），其社会福利至少达到最优社会福利的一半。
• 存在一种多项式时间算法，对于任意初始分配 X，可计算出一种 CWE，其社会福利至少为 X 的福利的一半。
• 对于每个估值配置，均存在一种 CWE，其收益在最优社会福利的 O(log n) 因子范围内。
• 该算法框架依赖于对买家的迭代划分以及分摊论证，以界定各轮次之间的福利损失。
• 研究结果表明 CWE 与物品定价之间存在显著差异：在一般情况下，仅使用物品定价无法实现常数因子的社会福利近似。
• 该框架对任意估值均具有鲁棒性，包括具有复杂互补性与替代性的估值。