[论文解读] Combinatorialization of spaces of nondegenerate spherical curves

Victor Goulart, Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过将每条曲线与对称群 $S_{n+1} \setminus \{e\}$ 中的行程词（itinerary word）相关联，为 $ℓ^n$ 上非退化球面曲线空间的同伦型构建了一个组合模型，该词编码了弗雷内标架（Frenet frame）穿过的施伯曼胞腔（Schubert cells）的序列。该文构造了一个抽象胞复形，其与具有固定初始和最终标架的曲线空间弱同伦等价，从而可通过组合数据计算同伦型。

ABSTRACT

A parametric curve $γ$ of class $C^n$ on the $n$-sphere is said to be nondegenerate (or locally convex) when $\det\left(γ(t),γ'(t),\cdots,γ^{(n)}(t) ight)>0$ for all values of the parameter $t$. We orthogonalize this ordered basis to obtain the Frenet frame $\mathfrak{F}_γ$ of $γ$ assuming values in the orthogonal group $\operatorname{SO}_{n+1}$ (or its universal double cover, $\operatorname{Spin}_{n+1}$), which we decompose into Schubert or Bruhat cells. To each nondegenerate curve $γ$ we assign its itinerary: a word $w$ in the alphabet $S_{n+1}\smallsetminus\{e\}$ that encodes the succession of non open Schubert cells pierced by the complete flag of $\mathbb{R}^{n+1}$ spanned by the columns of $\mathfrak{F}_γ$. Without loss of generality, we can focus on nondegenerate curves with initial and final flags both fixed at the (non oriented) standard complete flag. For such curves, given a word $w$, the subspace of curves following the itinerary $w$ is a contractible globally collared topological submanifold of finite codimension. By a construction reminiscent of Poincaré duality, we define abstract cell complexes mapped into the original space of curves by weak homotopy equivalences. The gluing instructions come from a partial order in the set of words. The main aim of this construction is to attempt to determine the homotopy type of spaces of nondegenerate curves for $n>2$. The reader may want to contrast the present paper's combinatorial approach with the geometry-flavoured methods of previous works.

研究动机与目标

• 确定 $n > 2$ 时，$ℓ^n$ 上非退化 $C^n$ 曲线空间的同伦型，该问题此前主要通过几何方法研究。
• 发展一种组合框架，以 $S_{n+1} \setminus \{e\}$ 上的词所编码的离散数据替代微分几何方法。
• 构造一个与 $ℓ_n(z)$（即 $ℓ_{n+1}$ 中具有固定初始与最终弗雷内标架的非退化曲线空间）弱同伦等价的抽象胞复形。
• 证明每个具有给定行程词 $w$ 的层 $ℓ_n[w]$ 是 $ℓ_n(q_w)$ 中一个可缩的、全局有边界的有限余维子流形。
• 提供一种系统性方法，通过词上的偏序关系与受庞加莱对偶性启发的粘合规则，计算同伦型。

提出的方法

• 为每条非退化曲线 $\gamma$ 分配一个行程 $w = \operatorname{iti}(\gamma)$，即 $S_{n+1} \setminus \{e\}$ 中的词，编码弗雷内标架 $\mathfrak{F}_\gamma$ 所张的完全旗穿过的非开施伯曼胞腔的序列。
• 通过 $\operatorname{GL}_{n+1}$ 的布伦特分解（Bruhat decomposition），将弗雷内标架 $\mathfrak{F}_\gamma$ 分解为施伯曼或布伦特胞腔，其指标为 $S_{n+1}$ 中的排列。
• 定义词 $w = (\sigma_1, \dots, \sigma_\ell)$ 的维数为 $\dim(w) = \sum_{i=1}^\ell (\operatorname{inv}(\sigma_i) - 1)$，该值对应于层 $\u2113_n[w]$ 的余维。
• 通过 $\mathbf{W}_n$ 上的偏序关系，依据 $S_{n+1}$ 上的布伦特序，将索引为词 $w$ 的胞腔粘合，构造抽象胞复形。
• 利用 $L^2$-正则化曲线空间到 $\operatorname{Spin}_{n+1}$ 的单值化映射 $\mu_{z_0}$，证明单值化子空间是余维为 $n(n+1)/2$ 的闭嵌入子流形。
• 通过单值化映射的光滑性与满射性，以及希尔伯特流形正则化手段以确保可微性，建立抽象胞复形与原始曲线空间 $\u2113_n(z)$ 之间的弱同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否独立于微分几何，通过组合方法确定 $ℓ^n$ 上非退化 $C^n$ 曲线空间的同伦型？
• RQ2 弗雷内标架在施伯曼胞腔中的演化过程如何通过 $S_{n+1} \setminus \{e\}$ 上的有限词编码？该行程词揭示了曲线的何种拓扑信息？
• RQ3 具有固定行程 $w$ 的曲线子空间是否为某个 $\u2113_n(q)$ 中的可缩、全局有边界的有限余维子流形？
• RQ4 能否基于行程词构建的抽象胞复形与 $\u2113_n(z)$（具有固定初始与最终标架的曲线空间）之间构造弱同伦等价？
• RQ5 单值化映射 $\mu_{z_0}$ 在联系曲线空间的光滑结构与 $\operatorname{Spin}_{n+1}$ 的全局拓扑之间起何作用？

主要发现

• 对每个行程词 $w \in \mathbf{W}_n$，具有该行程的曲线子空间 $\u2113_n[w]$ 是 $\u2113_n(q_w)$ 中一个可缩的、全局有边界的拓扑子流形，余维为 $\dim(w)$。
• 存在一个从词到克莱夫福德群 $\operatorname{CG}_{n+1}$ 中元素的典范映射 $w \mapsto q_w$，使得 $\u2113_n[w] \subset \u2113_n(q_w)$。
• 单值化映射 $\mu_{z_0}: \u2113_n^{[L^2]}(z_0; \cdot) \to \operatorname{Spin}_{n+1}$ 是一个光滑满射子mersion，表明每个单值化子空间 $\u2113_n^{[L^2]}(z_0; z_1)$ 是余维为 $n(n+1)/2$ 的闭嵌入子流形。
• $C^n$-正则化曲线空间包含于 $L^2$-正则化空间的包含映射诱导了同伦等价对，从而为同伦论目的，可任选其一作为拓扑。
• 基于布伦特序的粘合规则构建的行程词抽象胞复形，与 $\u2113_n(z)$ 弱同伦等价，从而为 $\u2113_n(z)$ 的同伦型提供了组合模型。
• 该构造提供了一种系统性的、组合化的替代方法，取代了以往依赖几何方法的思路，使得对 $n > 2$ 的情形可显式计算同伦型。