[论文解读] Combinatorics of $λ$-terms: a natural approach

Maciej Bendkowski, Katarzyna Grygiel+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用 6

一句话总结

该论文通过使用一元德布鲁因指标，为$\lambda$-项建立了一个自然的组合模型，其中每个构造器（抽象、应用、零、后继）均贡献大小为一。论文通过构造性双射证明了普通$\lambda$-项、中性形式以及无之字形或黑白二叉树彼此之间数量相等，并表明在渐近意义上几乎所有$\lambda$-项都包含任意固定的子项，这意味着强正规化和可类型化的项在密度上可忽略不计。

ABSTRACT

We consider combinatorial aspects of $λ$-terms in the model based on de Bruijn indices where each building constructor is of size one. Surprisingly, the counting sequence for $λ$-terms corresponds also to two families of binary trees, namely black-white trees and zigzag-free ones. We provide a constructive proof of this fact by exhibiting appropriate bijections. Moreover, we identify the sequence of Motzkin numbers with the counting sequence for neutral $λ$-terms, giving a bijection which, in consequence, results in an exact-size sampler for the latter based on the exact-size sampler for Motzkin trees of Bodini et alli. Using the powerful theory of analytic combinatorics, we state several results concerning the asymptotic growth rate of $λ$-terms in neutral, normal, and head normal forms. Finally, we investigate the asymptotic density of $λ$-terms containing arbitrary fixed subterms showing that, inter alia, strongly normalising or typeable terms are asymptotically negligible in the set of all $λ$-terms.

研究动机与目标

• 通过使用一元德布鲁因指标定义$\lambda$-项的自然大小模型，其中每个语法构造器对总大小的贡献为一。
• 在$\lambda$-项与诸如黑白树和无之字形二叉树等组合结构之间建立显式双射。
• 分析在全集$\lambda$-项中，关键$\lambda$-项类——中性、正规、头正规、强正规化及可类型化形式——的渐近密度。
• 在该模型中证明强正规化和可类型化$\lambda$-项在渐近意义上是可忽略的，与先前模型中其具有正密度的结果形成对比。

提出的方法

• 定义一个$\lambda$-项的组合类，其大小由构造器（抽象、应用、零、后继）的数量决定，每个构造器贡献大小为一。
• 通过递归分解推导出普通$\lambda$-项计数序列的微分方程生成函数。
• 在$\lambda$-项与黑白二叉树之间，以及$\lambda$-项与无之字形二叉树之间，构造保持大小的显式双射。
• 在中性$\lambda$-项与Motzkin树之间建立双射，从而可利用Motzkin树的精确大小采样器来采样任意给定大小的中性$\lambda$-项。
• 使用解析组合学分析生成函数的主导奇点，并推导出各类$\lambda$-项的渐近增长速率。
• 证明包含任意固定子项$M$的$\lambda$-项的生成函数的收敛半径严格大于完整$\lambda$-项生成函数的收敛半径，从而表明此类项的渐近密度为1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基于一元德布鲁因指标的自然大小模型下，$\lambda$-项的组合结构是什么？
• RQ2 是否存在$\lambda$-项与诸如黑白树或无之字形二叉树等知名组合类之间的显式双射？
• RQ3 在该模型下，中性、正规、头正规及强正规化$\lambda$-项在所有$\lambda$-项集合中的渐近密度是多少？
• RQ4 包含固定子项$M$的$\lambda$-项的渐近密度行为如何？这对其非正规化或不可类型化项的普遍性有何启示？
• RQ5 该自然大小模型中$\lambda$-项的渐近性质与忽略变量大小或以不同方式处理变量大小的模型相比有何不同？

主要发现

• 在一元德布鲁因模型中，$\lambda$-项的计数序列与黑白二叉树及无之字形二叉树的计数序列一致，并已建立保持大小的显式双射。
• 中性$\lambda$-项与Motzkin树之间存在双射，从而可利用Motzkin树的精确大小采样器来生成任意给定大小的中性$\lambda$-项。
• 包含任意固定子项$M$的$\lambda$-项的生成函数的收敛半径严格大于完整$\lambda$-项生成函数的收敛半径，表明此类项的渐近密度为1。
• 在该模型下，强正规化$\lambda$-项、正规形式及可类型化项在所有$\lambda$-项集合中的渐近密度均为0。
• 通过解析组合学确定了中性、正规及头正规形式$\lambda$-项的渐近增长速率，并从奇点分析中导出了显式常数。
• 该模型与早期研究结果相矛盾，后者表明强正规化项具有正密度，因为该自然大小模型对变量索引距离施加了惩罚，使得远距离绑定变得极不可能。