[论文解读] Combinatorics of the asymmetric exclusion process on a semi-infinite lattice

Tomohiro Sasamoto, Lauren Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了一个关于半无限格点上不对称排除过程（ASEP）的平稳测度与一个特殊化有限ASEP模型之间出人意料的联系。通过在参数β = c（平稳流）的有限ASEP中设定右边界退出速率δ = -β，所得的前L个格点的相关函数恰好与半无限ASEP中的相关函数一致。这一对应关系使得能够利用阶梯表（staircase tableaux）推导出有限相关函数的组合公式。

ABSTRACT

We study two versions of the asymmetric exclusion process (ASEP) -- an ASEP on a semi-infinite lattice with an open left boundary, and an ASEP on a finite lattice with open left and right boundaries -- and we demonstrate a surprising relationship between their stationary measures. The semi-infinite ASEP was first studied by Liggett and then Grosskinsky, while the finite ASEP had been introduced earlier by Spitzer and Macdonald-Gibbs-Pipkin. We show that the finite correlation functions involving the first L sites for the stationary measures on the semi-infinite ASEP can be obtained as a nonphysical specialization of the stationary distribution of an ASEP on a finite one-dimensional lattice with L sites. Namely, if the output and input rates of particles at the right boundary of the finite ASEP are beta and delta, respectively, and we set delta=-beta, then this specialization corresponds to sending the right boundary of the lattice to infinity. Combining this observation with work of the second author and Corteel, we obtain a combinatorial formula for finite correlation functions of the ASEP on a semi-infinite lattice.

研究动机与目标

• 建立半无限ASEP与特殊化有限ASEP模型之间平稳测度的深层代数与组合联系。
• 利用阶梯表为半无限ASEP中的有限相关函数提供组合解释。
• 证明有限ASEP中看似非物理的参数特化（δ = -β）在半无限ASEP的背景下具有有意义的物理解释。
• 将矩阵假设框架与组合结构（阶梯表）统一，以精确计算平稳测度。

提出的方法

• 利用矩阵假设形式化方法，关联有限ASEP与半无限ASEP模型的平稳测度。
• 应用非物理参数特化：在有限ASEP的平稳分布中设定δ = -β = -c，其中c为平稳流。
• 借助Corteel与Williams关于阶梯表的已知结果，将有限ASEP的平稳概率表示为带标签的杨图之和。
• 通过证明该特化后得到的测度满足与半无限ASEP相同的代数关系，从而证明其为正且平稳。
• 在半无限ASEP的相关函数与参数为α, β = c, γ, δ = -c, 以及q的加权阶梯表之间建立双射。
• 通过极限论证与特征值分析，验证该特化的有效性及所得测度的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限ASEP中，非物理参数特化（δ = -β）是否能产生半无限ASEP的物理上有意义的平稳测度？
• RQ2 半无限ASEP平稳相关函数背后的组合结构是什么？
• RQ3 矩阵假设形式化方法如何扩展以连接有限与无限格点ASEP模型？
• RQ4 由参数特化导出的带符号测度在何种条件下保持正性，从而可解释为平稳测度？
• RQ5 阶梯表在编码半无限ASEP平稳分布中起什么作用？

主要发现

• 半无限ASEP中左端前L个格点的有限相关函数，在其平稳测度下的值，恰好等于参数为β = c与δ = -c的有限ASEP的平稳概率。
• 半无限ASEP的平稳测度可通过将右边界趋于无穷大并采用特化δ = -β，从有限ASEP测度取极限得到。
• 半无限ASEP的相关函数可表示为加权阶梯表之和的组合公式，权重涉及参数α, β = c, γ, δ = -c, 以及q。
• 尽管特化δ = -β在形式上是非物理的（负速率），但由于矩阵假设关系中的抵消作用，仍能产生正且平稳的测度。
• 半无限ASEP中的平稳流c对应于有限ASEP中的参数c，且所有满足定理5.1不等式条件的(a,c)对，均可通过适当的α, β, γ, δ实现。
• 大小为L的阶梯表的权重总次数为L(L+1)/2，当u = 1时，可恢复标准ASEP动力学（右跳变速率为1）。