[论文解读] Combinatorics on permutation tableaux of type $A$ and type $B$

Sylvie Corteel, Jang Soo Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文为类型 A 排列表的无限制列生成函数提供了两个双射证明，当特化至 $ t = -1 $ 时，导出符号不平衡公式。它将 Corteel-Nadeau 双射推广至类型 B 排列表，推广了 Lam 和 Williams 的结果，并通过在替代表示上定义的锯齿映射，统一了类型 A 和 B 的组合结构。

ABSTRACT

We give another bijective proof of a result of Corteel and Nadeau. We find a generating function related to unrestricted columns of permutation tableaux. As a consequence, we obtain a sign-imbalance formula for permutation tableaux. We extend the first bijection of Corteel and Nadeau between permutations and permutation tableaux to type $B$ objects. Using this type $B$ bijection, we generalize a result of Lam and Williams. We prove that the bijection of Corteel and Nadeau and our type $B$ bijection can be expressed as zigzag maps on the alternative representation.

研究动机与目标

• 为类型 A 排列表的无限制列生成函数提供两个双射证明。
• 通过将生成函数在 $ t = -1 $ 处特化，推导排列表的符号不平衡公式。
• 将 Corteel-Nadeau 双射从类型 A 推广至类型 B 排列表。
• 利用新双射推广 Lam 和 Williams 关于类型 B 排列表的结果。
• 将原始双射与类型 B 双射均表示为排列表替代表示上的锯齿映射。

提出的方法

• 使用生成函数 $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $，其中 $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $，来编码无限制列。
• 构造类型 B 排列表与类型 B 排列之间的双射 $ \Phi_{\mathrm{B}} $，以扩展 Corteel-Nadeau 双射。
• 通过 $ \uparrow $、$ \leftarrow $ 操作并移除 0 和 1，定义排列表的替代表示。
• 在替代表示上引入锯齿映射 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $，该映射将表映射为带符号排列。
• 证明 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} = \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $，其中 $ \varphi $ 通过 RL 极小值与循环分解定义。
• 使用递推关系与组合论证验证生成函数及其特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对类型 A 排列表中无限制列的生成函数进行双射证明？
• RQ2 符号不平衡公式 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $ 的组合解释是什么？
• RQ3 如何将 Corteel-Nadeau 双射从排列与类型 A 排列表之间推广至类型 B 对象？
• RQ4 能否通过双射方法推导出广义生成函数 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $？
• RQ5 替代表示上的锯齿映射如何与 Corteel-Nadeau 双射及类型 B 双射关联？

主要发现

• 类型 A 排列表中无限制列的生成函数为 $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $，其中 $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $。
• 当 $ t = 2 $ 时，和 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} 2^{\operatorname{urc}(T)} $ 等于 $ \{1,2,\dots,n+1\} $ 的连通排列数，提供了组合解释。
• 当 $ t = -1 $ 时，符号不平衡公式给出 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $，其值为：若 $ n \equiv 0,1 \pmod{4} $，则为 $ (-1)^k \cdot 2^{2k} $；若 $ n \equiv 2 \pmod{4} $，则为 0；若 $ n \equiv 3 \pmod{4} $，则为 $ (-1)^{k+1} \cdot 2^{2k+1} $。
• 双射 $ \Phi_{\mathrm{B}} $ 将 Corteel-Nadeau 双射推广至类型 B 排列表，并满足 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $，推广了 Lam 和 Williams 的结果。
• 在类型 B 排列表的替代表示上，锯齿映射 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $ 与 $ \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $ 一致，其中 $ \varphi $ 通过 RL 极小值与循环分解定义。
• 类型 A 排列表与标准杨表的符号不平衡绝对值在 $ n \not\equiv 2 \pmod{4} $ 时均等于 $ 2^{\lfloor n/2 \rfloor} $，暗示了更深层次的组合联系。