[论文解读] Combining typing and size constraints for checking the termination of higher-order conditional rewrite systems

Frédéric Blanqui, Riba, Colin|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2006

Logic, programming, and type systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型终止准则，用于高阶条件重写系统，通过整合类型系统、大小约束与Presburger算术约束。该方法能够精确追踪输入输出大小之间的关系，使终止性验证适用于比以往基于类型的方法更复杂的函数，并且是首个在重写规则本身中考虑条件的此类准则。

ABSTRACT

In a previous work, the first author extended to higher-order rewriting and dependent types the use of size annotations in types, a termination proof technique called type or size based termination and initially developed for ML-like programs. Here, we go one step further by considering conditional rewriting and explicit quantifications and constraints on size annotations. This allows to describe more precisely how the size of the output of a function depends on the size of its inputs. Hence, we can check the termination of more functions. We first give a general type-checking algorithm based on constraint solving. Then, we give a termination criterion with constraints in Presburger arithmetic. To our knowledge, this is the first termination criterion for higher-order conditional rewriting taking into account the conditions in termination.

研究动机与目标

• 解决现有基于类型的方法在处理具有复杂大小依赖关系的高阶条件重写系统时的局限性。
• 构建一个形式化框架，整合大小注解、大小变量上的显式全称与存在量词，以及大小约束，以精确建模输出大小与输入大小之间的关系。
• 提供一种终止准则，考虑条件重写规则中的条件，而此前的方法忽略了这一点。
• 通过在Presburger算术上进行约束求解，实现自动化终止性检查，扩展了基于大小的终止性研究的先前工作。
• 为将该方法集成到Coq等证明助手中奠定基础，支持依赖类型与泛型类型。

提出的方法

• 本文引入一种类型系统，其中基本类型通过大小注解进行索引，使得项可以被赋予反映其大小界界的类型。
• 通过在大小变量上引入显式的全称与存在量词，扩展该系统，以表达输入与输出之间复杂的大小关系。
• 条件重写规则被附加了必须满足的约束，以确定规则是否适用，且这些约束需与大小减少保持一致。
• 定义了一般化的类型检查算法，使用约束求解，其中大小约束以Presburger算术表达。
• 终止准则基于确保每个递归调用都作用于大小严格更小的参数，这一保证由类型与约束系统提供。
• 该系统支持高阶函数与归纳类型，重点在于一阶模式匹配以保证实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于大小的终止性扩展到高阶条件重写系统，同时考虑规则中的条件？
• RQ2 如何将大小注解与约束整合到类型系统中，以精确描述递归调用中的大小减少？
• RQ3 能否定义一种形式化的高阶条件重写终止准则，基于在Presburger算术上的约束求解？
• RQ4 该方法是否能够验证那些在子项序下并非简单终止的函数的终止性？
• RQ5 如何使该系统适应支持证明助手中使用的依赖类型与泛型类型？

主要发现

• 所提出的方法成功验证了Mc Carthy的91函数的终止性，该函数在子项序下并非简单终止。
• 该系统能够对复杂函数（如'pivot'）进行类型检查，这些函数需要通过大小变量的存在量词进行大小分解推理。
• 该终止准则首次在检查终止性时显式考虑了条件重写规则中的条件。
• 该方法支持高阶函数与归纳类型，将先前基于大小的终止性研究扩展到条件性与更表达性的系统。
• 该方法对目标系统类是可靠且完备的，终止性通过Presburger算术中的约束下大小减少来证明。
• 该框架可扩展至泛型与依赖类型系统，初步结果表明其具备集成到Coq等证明助手的可行性。