[论文解读] Comet and moon solutions in the time-dependent restricted $(n+1)$-body problem

Carlos Barrera-Anzaldo, Abimael Bengochea+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过在作用泛函上使用Lyapunov-Schmidt约化，证明了在时变受限(n+1)体问题中存在周期性彗星轨道和月球轨道。对于远离主星体的大振幅轨道（彗星解），证明了至少存在两个周期为2πq的解，其频率为p/q，振幅为ε⁻¹，其中ε = (p/q)²/(α+1)。对于靠近主星体的小振幅轨道（月球解），在相对平衡条件下，证明了至少存在两个周期为2πq的解，其频率为p/q，振幅为ε，其中ε = (p/q)⁻²/(α+1)。在引力情形α=2下，通过对称性假设处理，并利用可逆性技术对四个主星体的超八字编舞进行了数值求解。

ABSTRACT

The time-dependent restricted $(n+1)$-body problem concerns the study of a massless body (satellite) under the influence of the gravitational field generated by $n$ primary bodies following a periodic solution of the $n$-body problem. We prove that the satellite has periodic solutions close to the large-amplitude circular orbits of the Kepler problem (comet solutions), and in the case that the primaries are in a relative equilibrium, close to small-amplitude circular orbits near a primary body (moon solutions). The comet and moon solutions are constructed with the application of a Lyapunov-Schmidt reduction to the action functional. In addition, using reversibility technics, we compute numerically the comet and moon solutions for the case of four primaries following the super-eight choreography.

研究动机与目标

• 在n个主星体沿一般周期性轨道运动的时变受限(n+1)体问题中，建立周期性彗星与月球解存在的证明。
• 在一般齐次势场下分析卫星的动力学，重点关注大振幅（彗星）与小振幅（月球）周期轨道。
• 通过将主星体时变引力场视为小扰动，扩展经典开普勒问题的框架。
• 在特定条件下（月球轨道的相对平衡条件，引力情形α=2的对称性假设）提供彗星与月球解的解析存在性结果。
• 利用可逆性技术对这些轨道进行数值计算，特别针对四体超八字编舞。

提出的方法

• 对正则化作用泛函A = A₀ + H应用Lyapunov-Schmidt约化，其中A₀为开普勒作用泛函，H为阶为ε的小扰动。
• 利用傅里叶分析估计A₀的Hessian算子的谱，从而将问题约化为有限维临界点问题。
• 将彗星解构造为大振幅圆形开普勒轨道的扰动，其频率为p/q，振幅为ε⁻¹，其中ε = (p/q)²/(α+1)。
• 在主星体处于相对平衡的假设下，将月球解构造为靠近主星体的小振幅轨道的扰动，其频率为p/q，振幅为ε，其中ε = (p/q)⁻²/(α+1)。
• 对运动方程应用可逆性技术，利用反演对称性Φ₁ˣ, Φ₁ʸ, Ψ₁ˣ, Ψ₁ʸ定义具有不动点条件的边值问题。
• 通过求解初始条件(q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)，使得流满足φ₀(α,0,0,β) ∈ Fix(Φ₁ˣ)或Fix(Ψ₁ˣ)，且φₜ₀(α,0,0,β) ∈ Fix(Φ₁ʸ)或Fix(Ψ₁ʸ)，实现周期轨道的数值计算，其中T₀ = 4mT。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，时变受限(n+1)体问题允许存在远离主星体的周期性彗星样解？
• RQ2 当n个主星体处于相对平衡状态时，能否存在靠近主星体的周期性月球样解？
• RQ3 引力情形（α=2）如何影响周期解的存在性？需要哪些额外的对称性假设？
• RQ4 当解析定理不适用时，可逆性技术能否用于数值计算周期性彗星与月球轨道？
• RQ5 在四主星体呈超八字编舞的限制性五体问题中，质量为零的卫星的特定初始条件（位置与速度）为何种形式，可产生对称的周期性彗星与月球轨道？

主要发现

• 对每个整数p，存在整数q₀，使得对所有q > q₀，彗星至少存在两个形式为q(t) = ε⁻¹e^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε)的2πq周期解，其中ε = (p/q)²/(α+1)，x₀ = (1,0) ∈ ℝ²，J为辛矩阵。
• 对每个整数q，存在整数p₀，使得对所有p > p₀，月球至少存在两个形式为q(t) = q₁(t) + εe^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε³)的2πq周期解，其中ε = (p/q)⁻²/(α+1)，在主星体处于相对平衡的假设下成立。
• 在引力情形（α=2）下，当主星体始终构成m边形时，周期解的存在性得以确立，该条件在n=4的超八字编舞中成立。
• 通过利用反演对称性的边值问题求解，实现了彗星与月球轨道的数值计算，当T₀ = 4mT（m ∈ ℕ）时，可找到周期轨道。
• 计算出卫星的特定初始条件：对于彗星轨道，(q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)，其中α和β分别在1.47至6.42与0.81至3.97之间变化；对于月球轨道，相同形式可产生对称周期解，且T₀ = 4mT。
• 数值结果证实了在四主星体呈超八字编舞的限制性五体问题中，存在对称的周期性彗星与月球轨道，如图1所示。