[论文解读] Cometric Association Schemes

Brian G. Kodalen|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 83被引用 5

一句话总结

本论文研究共度量关联方案，重点关注其结构、实现条件以及与等角线和相互 unbiased 基（MUBs）等几何对象的联系。论文建立了 3-类和 4-类共度量方案的新实现条件，通过关联单纯形和实相互 unbiased 基构造了新的 3-类 $Q$-对称方案实例，并证明了 3-类 $Q$-对称方案与特定 $t$-距离集之间的等价性。

ABSTRACT

One may think of a $d$-class association scheme as a $(d+1)$-dimensional matrix algebra over $\mathbb{R}$ closed under Schur products. In this context, an imprimitive scheme is one which admits a subalgebra of block matrices, also closed under the Schur product. Such systems of imprimitivity provide us with quotient schemes, smaller association schemes which are often easier to understand, providing useful information about the structure of the larger scheme. For any association scheme we find a basis of $d+1$ idempotent matrices for the algebra. A cometric scheme is one whose idempotent basis may be ordered $E_0,E_1,...,E_d$ with polynomials $f_0,f_1,...,f_d$ giving $f_i\circ(E_1)=E_i$ and deg$(f_i)=i$ for each $i$. Throughout this thesis we are primarily interested in three goals: building new examples of cometric schemes, drawing connections between cometric schemes and other objects, and finding new realizability conditions on feasible parameter sets --- using these conditions to rule out open parameter sets when possible. After introducing association schemes, this thesis focuses on a few recent results regarding cometric schemes with small $d$. We begin by examining the matrix algebra, looking for low rank positive semidefinite matrices with few distinct entries and later establishing new conditions on realizable parameter sets. We then focus on imprimitive examples of both 3- and 4-class cometric schemes, generating new examples of the former while building realizability conditions for both. In each case, we examine the related $t$-distance sets, giving conditions which work towards equivalence; in the case of 3-class $Q$-antipodal schemes an equivalence is established. We conclude by partially extending a result of Brouwer and Koolen concerning the connectivity of graphs arising from metric schemes.

研究动机与目标

• 构造共度量关联方案的新实例，特别是 3-类 $Q$-对称方案。
• 建立共度量方案与等角线和实相互 unbiased 基（MUBs）等几何对象之间的联系。
• 推导共度量方案可行参数集的新实现条件，尤其针对非本原情形。
• 扩展关于度量关联方案中基关系连通性的结果，推广 Brouwer 和 Koolen 的工作。
• 通过共度量方案的视角对 $t$-距离集进行分类与分析，特别关注 3-类 $Q$-对称情形。

提出的方法

• 利用幂等基和次数为 $i$ 的多项式映射 $f_i(E_1) = E_i$ 分析共度量方案的 Bose-Mesner 代数。
• 应用 Schönberg 定理于具有少量不同元素的正定矩阵，推导可行性约束。
• 使用 Gegenbauer 多项式和内积结构对 $t$-距离集及其几何实现进行建模。
• 从同构关联对称设计系统（LSSD）和实 MUBs 构造 3-类 $Q$-对称方案。
• 应用谱图论和图同态 $\varphi_a$ 研究度量方案中基关系的连通性。
• 采用参数分析与数论论证（例如 $q^{3m-2}$ 与 $q^m \mp 1$ 的互素性）排除某些参数族的整数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 3-类和 4-类共度量方案的可行参数集实际上可以实现？
• RQ2 3-类 $Q$-对称共度量方案与等角线等 $t$-距离集之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否从实相互 unbiased 基或关联单纯形构造新的 3-类 $Q$-对称方案实例？
• RQ4 已知 LSSD 参数族中 $\nu$ 的整数性的必要与充分条件是什么？
• RQ5 度量关联方案中基关系的连通性如何与方案结构及其商结构相关联？

主要发现

• 仅 LSSD 参数族 6、7、9、13 和 14 对所有 $m$ 满足整数条件；族 12、15–19 仅在 $m=1$ 时可行。
• 当 $m=1$ 时，族 16–19 的参数集可行，且具有 $\mu$-或 $\nu$-主导参数，但对 $m>1$ 时因 $q^{3m-2}$ 与 $q^m \mp 1$ 的互素性而失败整数性。
• 族 20 失败整数性，因为 $n = 2^{2dm-d-1}(2^d-1)$ 不能为完全平方，除非 $2^d-1$ 为完全平方，而这对 $d \geq 2$ 不可能。
• 族 21 失败整数性，因为 $\nu = \frac{(2t-1)^{3m+1}(q-1)}{4((2t-1)^{m+1} \mp 1)}$ 由于分母大小和与分子互素，永远不是整数。
• 建立了 3-类 $Q$-对称共度量方案与特定 $t$-距离集之间的等价性，尤其在关联单纯形情形下成立。
• 本论文扩展了 Brouwer 和 Koolen 关于连通性的结果，表明在某些谱和结构条件下，度量方案中的基关系保持连通。