[论文解读] Comment on "Anomalous Edge State in a Non-Hermitian Lattice"

Ye Xiong, Tianxiang Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 5

一句话总结

本文挑战了非厄米晶格模型中分数绕数和体-边界对应关系破缺的有效性，认为所声称的分数绕数是规范依赖的，物理上无意义。它表明观察到的边界态和对称性特性是有限尺寸效应的产物，且两能带的总绕数为1，而非1/2，从而否定了原文关于拓扑保护和边界态的结论。

ABSTRACT

In this comment, we criticize three main conclusions of the letter\cite{Lee2016}. We show that the concept of fractional winding number(FWN) is factitious, Lee's conclusions on Fig. 3 are finite-size effect and the breakdown of bulk-boundary correspondence (BBBC) cannot be explained by "defective".

研究动机与目标

• 挑战李等人（2016）在非厄米晶格模型中提出的分数绕数（FWN）概念的有效性。
• 证明观察到的边界态和保持的PT对称性是有限系统尺寸的产物，而非本征的拓扑特性。
• 认为体-边界对应关系的破缺并非源于“有缺陷”的方程，而是由于边界诱导的体态局域化。
• 表明当物理周期为4π时，两能带的总绕数为1，而非1/2，使得单个FWN作为规范变量化无意义。

提出的方法

• 分析动量空间中本征态的演化，表明态轨迹在2π布里渊区上不闭合，而需经过4π才能返回初始态。
• 使用特定规范计算左右本征态的绕数，表明w₊ + w₋ = 1，而非w₊ = 0.5。
• 采用非厄米体系的贝里连接公式：A± = -i⟨⟨u±|∂k|u±⟩ / ⟨⟨u±|u±⟩，并在k ∈ [0, 4π]上积分。
• 比较不同链长（N=30至N=800）下开放边界条件（OBC）的能量谱，揭示谱结构发生剧烈变化。
• 重新解释李的方程，表明在4π上积分包含了两能带的贡献，从而否定了将0.5归于单个能带的分配。
• 通过简化模型的思想实验，表明在物理周期为4π时，若状态轨迹跨越两能带，定义2π布里渊区内的FWN存在逻辑矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在该非厄米模型中，单个能带的分数绕数（FWN）1/2是否具有物理意义？
• RQ2 所报告的边界态和PT对称性保持在多大程度上是有限尺寸效应的产物？
• RQ3 为何体-边界对应关系看似破缺？其原因是否源于“有缺陷”的方程，还是边界诱导的局域化？
• RQ4 当物理周期为4π且两能带均有贡献时，正确的总绕数是多少？
• RQ5 当状态轨迹在4π内跨越两能带时，能否有意义地将绕数分配给单个能带？

主要发现

• 单个能带的分数绕数（FWN）1/2是规范变量化，且物理上无意义，因为状态轨迹在2π区间内不闭合。
• 在4π周期内，总绕数w₊ + w₋ = 1，确认了拓扑不变量为1，而非1/2。
• 当系统尺寸从N=30增至N=800时，OBC下的能谱发生根本性变化，能隙闭合且谱变为复数，表明存在有限尺寸效应。
• 在OBC下，体态从扩展态转变为局域态，这才是体-边界对应关系破缺的真正原因，而非“有缺陷”的方程。
• 李在第三次回复中的方程与其自身结论矛盾：将绕数1/2归于单个能带，忽略了4π积分包含两能带的贡献。
• 正确解释应为总绕数w = 1，而非w = 1/2；单个FWN是错误规范选择和对物理周期误解的产物。