[论文解读] Comment on "Controllability of Complex Networks with Nonlinear Dynamics"

Jie Sun, Sean P. Cornelius+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文批判了广受引用的一个主张，即具有非线性动力学的复杂网络可仅通过一个驱动节点实现完全控制，且与拓扑结构无关。作者证明，所提出的基于线性化的方法在根本上存在缺陷，因为它依赖于非局部轨迹，从而破坏了线性近似的有效性，导致所声称的可控性结果不成立且不具新颖性。

ABSTRACT

The recent paper by W.-X. Wang, Y.-C. Lai, J. Ren, B. Li & C. Grebogi [arXiv:1107.2177v1] proposed a method for the control of complex networks with nonlinear dynamics based on linearizing the system around a finite number of local desired states. The authors purport that any bidirectional network with one-dimensional intrinsic node dynamics can be fully controlled by a single driver node, which can be any node in the network, regardless of the network topology. According to this result, a network with an arbitrarily large number of nodes (a million, a billion, or even more) could be controlled by a single node. Here we show, however, that this result is specious and that it does not hold true even for networks with only two nodes. We demonstrate that the erroneous results are a consequence of a fundamental flaw in the proposed method, namely, that reaching a local desired state using the proposed linearization procedure generally requires a nonlocal trajectory, which grossly violates the linear approximation. Their further conclusion that network systems with nonlinear dynamics are more controllable than those with linear dynamics is a known fact presented as novel based on a flawed argument. A central problem underlying the authors' argument is that their formulation is entirely based on the number of driver nodes required to reach a desired state---even when this number is one, keeping the system at that desired state generally requires directly controlling all nodes in the network. When this is taken into account, the conclusion that nonlinear dynamics can facilitate network control was already anticipated in S.P. Cornelius, W.L. Kath & A.E. Motter [arXiv:1105.3726v1], which is not referenced in their paper. If one insists on using the authors' formulation, then, in contradiction to their claim, nonlinear systems would never be more controllable than linear ones because...

研究动机与目标

• 挑战 Wang 等人（2011）提出的主张，即任何具有一维非线性动力学的无向复杂网络均可通过单个驱动节点实现完全控制。
• 揭示 Wang 等人（2011）所提出的方法在基于线性化的控制中存在根本性缺陷，该方法假设通过线性近似实现局部控制，但实际却需要非局部轨迹。
• 证明非线性系统比线性系统更具可控性的结论既不正确也非新颖，因为早期研究已通过不同推理方式确立了这一观点。
• 指出关键前期文献（包括 Cornelius 等人，2011 年和 Cowan 等人，2011 年）的遗漏，这削弱了原始主张的新颖性与有效性。
• 澄清完全系统控制不仅要求到达目标状态，还必须实现稳定，而通常这需要比仅实现可达性所需的驱动节点更多。

提出的方法

• 分析 Wang 等人（2011）的系统模型，即具有控制输入的、通过扩散方式耦合的一维非线性动力学单元网络。
• 识别核心缺陷：该方法假设围绕目标状态的线性化是有效的，但实现该状态却需要非局部轨迹，从而违反了局部线性近似的假设。
• 运用严格的控制理论原理，表明可控性是全局性质，而局部线性化无法保证全局可达性或稳定性。
• 通过两节点网络的反例证明，该方法甚至在最简单的情况下也失效，从而否定了单个驱动节点控制的一般性主张。
• 将该方法与前期工作（Cornelius 等人，2011）进行比较，表明关于利用非线性系统中吸引盆特性的洞察早已通过更严谨的推理建立。
• 证明非线性系统比线性系统更具可控性的主张在逻辑上不一致，因为标准可控性准则下，线性系统同样仅需一个驱动节点（Cowan 等人，2011）

实验结果

研究问题

• RQ1 Wang 等人（2011）声称，任何具有非线性一维动力学的无向复杂网络，无论其拓扑结构如何，都可由单个驱动节点完全控制，这一主张是否成立？
• RQ2 Wang 等人（2011）所提出的基于线性化的控制方法是否有效，特别是在需要非局部轨迹才能到达目标状态时？
• RQ3 非线性动力学促进网络控制的主张是否构成一项新颖发现，还是早已在前期文献中被确立？
• RQ4 为何稳定目标状态（而不仅仅是到达它）的要求，会破坏单个驱动节点结论的有效性？
• RQ5 关键前期文献（Cornelius 等人，2011；Cowan 等人，2011）的遗漏在多大程度上损害了原始主张的可信度与新颖性？

主要发现

• 通过仅两个节点的反例，证明任何具有非线性一维动力学的无向网络均可由单个驱动节点完全控制的主张是无效的。
• 所提出的基于线性化的方法失败，因为该方法要求通过非局部轨迹到达目标状态，这违反了局部线性近似的假设。
• 非线性系统比线性系统更具可控性的结论既不新颖，也基于有缺陷的推理，因为同一洞察已在 Cornelius 等人（2011）中通过更严谨的推理建立。
• 即使以独立控制输入数（s）表达，Wang 等人（2011）的结果也不成立，因为该方法对少于 n 个驱动节点的情况均失效。
• 该方法既非可控性的必要条件也非充分条件，因为它无法确保目标状态的稳定，而这是实现完全控制的必要条件。
• 该方法向高维节点动力学和有向网络的推广同样无效，因为其基础仍基于同一有缺陷的假设。