[论文解读] Comment on "Entanglement growth in diffusive systems"

Tibor Rakovszky, Frank Pollmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文挑战了Žnidarič（2020）提出的观点，即在扩散系统中，更高阶的Rényi熵普遍呈线性增长，表明亚线性增长√t远为普遍。通过构建一个具有U(1)对称性的q=3随机电路模型，本文证明了由于冻结区域条件（即无守恒密度的区域在动力学上保持静止）的存在，纠缠熵S₂随时间呈√t增长，验证了√t标度在自旋-1/2系统之外及更高维度中的鲁棒性。

ABSTRACT

In a recent paper (Commun. Phys. 3, 100) Znidaric studies the growth of higher Renyi entropies in diffusive systems and claims that they generically grow ballistically in time, except for spin-1/2 models in d=1 dimension. Here, we point out that the necessary conditions for sub-ballistic growth of Renyi entropies are in fact much more general, and apply to a large class of systems, including experimentally relevant ones in arbitrary dimension and with larger local Hilbert spaces.

研究动机与目标

• 挑战Žnidarič（2020）的主张，即在局部希尔伯特空间维数q>2的大多数扩散系统中，更高阶Rényi熵（Sα>1）呈线性增长。
• 证明Rényi熵的亚线性增长√t并非仅限于q=2的自旋-1/2系统，而是在具有单个U(1)对称性与冻结区域条件的系统中具有普遍性。
• 阐明冻结区域条件（即由于对称性导致某些构型在动力学上保持静止）是实现√t增长的关键因素，而非局部希尔伯特空间维数q的大小。
• 解决先前研究中时间单位标度的不一致问题，表明当使用标准微观时间单位时，扩散增长在与系统尺寸无关的时间尺度上开始。
• 警告不要将e^{S₂}解释为状态复杂度的度量，强调更高阶Rényi熵反映的是最大本征值的行为，而非完整态的信息内容。

提出的方法

• 构建一个具有q=3局部自由度（空、上、下）和U(1)对称性的随机电路模型，该模型守恒总粒子数但不守恒自旋。
• 在该模型中数值评估第二阶Rényi熵S₂的平均值，比较包含与不包含空位的初始态。
• 应用冻结区域条件（FRC）形式化：若在块对角化的时间演化中存在任意大小下仅含一个本征态的块，则系统满足FRC。
• 将Huang（2019）和Rakovszky等（2019）的分析框架扩展至q>2系统，表明在FRC下√t增长依然成立。
• 通过将时间单位从与系统尺寸相关的单位转换为标准微观时间单位，重新解释Žnidarič（2020）中的时间标度，揭示其内在的扩散动力学。
• 主张如(S_j^z)^2等算符中出现的幂律衰减相关性（源于守恒密度的流体动力学尾部）是√t增长持续存在的原因，反驳了非守恒算符中指数衰减的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 Žnidarič（2020）所声称的，在扩散系统中Rényi熵Sα>1的亚线性增长是否确实仅限于q=2的自旋-1/2模型？
• RQ2 在U(1)对称系统中，冻结区域条件（FRC）本身是否足以保证Rényi熵的√t增长，而与局部希尔伯特空间维数q无关？
• RQ3 为何Žnidarič（2020）的数值结果看似表现出有限尺寸效应？时间单位标度如何影响纠缠增长动力学的解释？
• RQ4 在q>2的系统中，如(S_j^z)^2等算符中出现的幂律衰减相关性（源于守恒密度乘积）在多大程度上支持√t纠缠增长？
• RQ5 将e^{S₂}解释为计算复杂度的度量是否合理？还是其误解了态的信息内容？

主要发现

• 在具有U(1)对称性的q=3随机电路模型中，对S₂的平均值进行数值评估，发现对于包含所有三种局域态（空、上、下）的通用初始态，S₂随时间呈√t增长，与Žnidarič（2020）预测的线性t增长相矛盾。
• 冻结区域条件（FRC）被识别为实现√t纠缠增长的关键物理机制，而非q的取值；FRC在S^z守恒的自旋-S系统以及粒子数守恒的费米子/硬核玻色子系统中均成立。
• FRC不仅限于d=1或q=2；其适用于广泛的一类实验相关系统，包括自旋链、U→∞极限下的费米子Hubbard模型，以及具有部分对称性守恒的双链结构。
• 与Žnidarič（2020）的分歧源于错误假设：即(S_j^z)^2等算符仅在显式守恒时才不呈指数衰减；实际上，由于流体动力学尾部的存在，它们表现出幂律衰减，从而支持√t增长。
• 当时间以标准微观单位（而非与系统尺寸相关的单位）测量时，扩散型√t增长在与系统尺寸无关的时间尺度上开始，解决了先前工作中看似存在的有限尺寸效应。
• 将e^{S₂}解释为计算复杂度的度量是误导性的：S₂主要由约化密度矩阵的最大本征值主导，而较低阶Rényi熵（Sα≤1）更能表征完整态的复杂度，因为即使在扩散系统中，它们也随时间线性增长。