[论文解读] Comment on "Essential discreteness in generalized thermostatistics with non-logarithmic entropy" by S. Abe

G. Baris Bagci, Thomas Oikonomou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文挑战了S. Abe关于非广延统计力学中q-熵本质上是离散的、无法推广到连续变量的主张。通过将用于Boltzmann-Gibbs熵的正则形式推广至q-熵，引入q-广义测度m_q(x)，作者推导出一种无量纲、坐标变换不变的连续q-熵，即q-相对熵。关键结果表明，q-熵在离散与连续系统中均有效，从而解决了广义统计力学中的一个基础性问题。

ABSTRACT

Recently Abe (arXiv:cond-mat/1005.5110v1) claimed that the q-entropy of nonextensive statistical mechanics cannot be generalized for the continuous variables and therefore can be used only in the discrete case. In this letter, we show that the discrete q-entropy can be generalized to continuous variables exactly in the same manner as Boltzmann-Gibbs entropy, contrary to the claim by Abe, so that q-entropy can be used with discrete as well as continuous variables.

研究动机与目标

• 反驳S. Abe关于q-熵无法推广至连续变量的断言。
• 通过引入q-广义测度m_q(x)，将连续Boltzmann-Gibbs熵的形式推广至非广延q-熵。
• 证明所得连续q-熵为无量纲且在坐标变换下不变，如同Boltzmann-Gibbs情形。
• 解决先前处理中连续q-熵被认为未定义或发散的不一致问题。

提出的方法

• 通过引入考虑非广延性的q-广义测度m_q(x_i)，将标准从离散BG熵推广至连续变量的程序进行适配。
• 利用关系式p_i = ρ(x_i)/(n m_q(x_i))，在n→∞极限下将离散概率映射为连续密度。
• 应用q-对数函数ln_{2−q}(x) = (x^{1−q}−1)/(1−q)，以概率密度形式定义离散q-熵。
• 推导出连续q-熵为S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x))，即q-相对熵。
• 在n→∞极限下省略发散项ln_{2−q}(n)，因为仅熵差具有物理可测量性。
• 通过证明连续q-熵为无量纲且在重参数化下不变，验证了结果，与BG情形一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 非广延统计力学中的q-熵能否像Boltzmann-Gibbs熵一样，一致地推广至连续变量？
• RQ2 连续q-熵是否与标准连续BG熵一样存在维度问题或不变性缺失的问题？
• RQ3 在离散q-熵的n→∞极限中出现的发散项是否具有物理意义，或可被一致地省略？
• RQ4 所得连续q-熵是否保持无量纲性及在坐标变换下的不变性等关键物理特性？

主要发现

• 连续q-熵被推导为S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x))，即q-相对熵，且为无量纲。
• 在n→∞极限中出现的发散项ln_{2−q}(n)被省略，因为仅熵差具有物理可测量性，从而解决了非物理发散问题。
• 所得连续q-熵在连续变量的重参数化下保持不变，如同连续BG熵一样。
• 该形式将BG熵的推广形式一致地推广至q-熵，数学上一致且物理上合理。
• 因此，q-熵在离散与连续系统中均有效，反驳了Abe关于其本质离散性的主张。