[论文解读] Comment on "Foundation of Statistical Mechanics under Experimentally Realistic Conditions"

Zhexuan Gong, Luming Duan|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 3

一句话总结

本文挑战了 Reimann (2008) 的一个关键主张，即在一般条件下孤立的量子多体系统会达到热平衡，通过揭示其时间平均方差界证明中的一个关键缺陷。作者表明，在实验上现实的系统中，仅考虑对角项（$j=n, k=m$）对时间平均有贡献的假设是无效的，因为密集能谱中存在指数级多的近共振项，导致所声称的涨落指数抑制并不成立。

ABSTRACT

Reimann [Phys. Rev. Lett. 101, 190403 (2008)] claimed that generic isolated macroscopic quantum system will equilibrate under experimentally realistic conditions by proving a theorem. We here show that the proof is invalid for most many-body systems and is unable to demonstrate equilibration in realistic experiment.

研究动机与目标

• 识别并揭露 Reimann (2008) 关于孤立量子多体系统热化证明中的一个关键缺陷。
• 证明在实验上现实的条件下，仅对角项（$j=n, k=m$）对时间平均方差有贡献的假设是无效的。
• 表明多体系统的能谱是指数密集的，导致存在大量具有非零时间平均矩阵元的近共振项。
• 论证由于未计入指数级多的非对角项贡献，因此所声称的可观测量涨落指数抑制是不成立的。
• 澄清 Reimann 证明中的两个条件——初始能量分布广泛且可观测量范围有界——在缺乏额外约束下不足以保证热化。

提出的方法

• 分析 Reimann 的公式 (11) 中的时间平均方差表达式 $\sigma_A^2 = \overline{[\text{Tr}(\rho(t)A) - \text{Tr}(\rho_{\text{eq}}A)]^2}$，重点关注相位因子 $\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$。
• 识别关键错误：Reimann 假设仅当 $j=n$ 且 $k=m$ 时项在时间平均中存活，其余项被忽略。
• 证明对于二次哈密顿量（如非相互作用准粒子），条件 $E_j - E_k + E_m - E_n = 0$ 可通过 $j_i + m_i = k_i + n_i$ 满足，从而产生指数级多的非对角解。
• 表明对于一般多体系统，能谱是指数密集的，因此在任意有限时间窗口 $T$ 内，存在指数级多的能级差满足 $|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$，且其时间平均矩阵元非零。
• 论证分辨此类能级差所需的时间尺度远超宇宙年龄，因此时间平均在现实系统中在物理上无意义。
• 结论：$\sigma_A^2$ 由 $\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ 所声称的指数抑制，是因忽略了这些共振项而产生的错误简化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Reimann 的两个条件下，孤立量子多体系统中可观测量的时间平均方差是否真的会指数趋于零？
• RQ2 在实验上现实的多体系统中，时间平均方差表达式中 $j \neq n$ 或 $k \neq m$ 的非对角项是否可忽略？
• RQ3 考虑到能谱的指数密集性，能否通过有限时间平均分辨多体系统的能谱？
• RQ4 在实验上现实的条件下，$\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$ 对非对角项为零的假设是否成立？
• RQ5 当所有共振项都被正确计入时，Reimann 证明中所声称的涨落指数抑制是否仍然成立？

主要发现

• Reimann (2008) 公式 (1) 的证明存在缺陷，因其武断地舍弃了时间平均方差表达式中指数级多的非对角项。
• 对于二次哈密顿量，条件 $E_j - E_k + E_m - E_n = 0$ 除了对角项 $j=n, k=m$ 外，还存在指数级多的解，例如 $j_i + m_i = k_i + n_i$。
• 在一般多体系统中，能谱是指数密集的，因此在任意有限时间窗口 $T$ 内，存在指数级多的近共振项满足 $|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$。
• 这些近共振项对时间平均有非零贡献，从而否定了仅对角项起作用的假设。
• 对于包含数百个粒子的系统，分辨能谱中此类能级差所需的时间超过宇宙年龄，使得时间平均在实际中物理上无意义。
• 因此，$\sigma_A^2$ 由 $\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ 所声称的指数抑制，是因错误简化而产生的结果，在实验上现实的条件下并不成立。