[论文解读] Comment on "Reply to Comment on Time-dependent Quasi-Hermitian Hamiltonians and the Unitary Quantum Evolution"

Alí Mostafazadeh|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文批判了 M. Znojil 在时变准厄米哈密顿量方面的表述，表明当度量算符随时间变化时，时间演化由有效哈密顿量 $ H' $ 控制，而非原始的 $ H $。关键结果是 $ H' $ 不可观测，这与‘在时变度量下单位演化意味着生成元不可观测’的定理一致，揭示了 Znojil 的工作中对‘哈密顿量’一词的非标准使用。

ABSTRACT

I point out that if one defines the operator $U_R(t)$ as done by M. Znojil in his reply [arXiv:0711.0514v1] to my comment [arXiv:0711.0137v1] and also accepts the validity of the defining relation of $U_R(t)$ as given in his paper [arXiv:0710.5653v1], one finds that the time-evolution of the associated quantum system is not governed by the Schrödinger equation for the Hamiltonian operator $H$ but an operator $H'$ which differs from $H$ if the metric operator is time-dependent. In the latter case this effective Hamiltonian $H'$ is not observable. This is consistent with the conclusions of my paper [Phys. Lett. B 650, 208 (2007), arXiv:0706.1872v2] which allow for unitary time-evolution generated by unobservable Hamiltonians.

研究动机与目标

• 澄清 M. Znojil 在时变准厄米量子力学中对‘哈密顿量’一词使用的概念不一致。
• 证明当度量算符时变时，Znojil 框架中时间演化的生成元不可观测。
• 将 Znojil 的表述与已确立的定理相协调，即在时变度量下单位演化意味着生成元不可观测。
• 通过参考希尔伯特空间和时变内积，提供动力学的数学上明确的重表述。

提出的方法

• 通过 $ |Φ(t)\rangle = U_R(t)|Φ(0)\rangle $ 定义时间演化算符 $ U_R(t) $，并从含哈密顿量 $ H $ 的薛定谔方程推导其时间演化。
• 利用关系式 $ U_R(t) = \omega(t)^{-1}u(t)\omega(0) $，其中 $ u(t) $ 满足 $ i\hbar \partial_t u(t) = h(t)u(t) $ 且 $ h(t) = \omega(t)H(t)\omega(t)^{-1} $。
• 推导出控制实际时间演化的有效哈密顿量 $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $。
• 在具有时变内积 $ \prec\cdot,\cdot\succ = \langle\cdot|\Theta|\cdot\rangle $ 的物理希尔伯特空间中，建立单位性条件 $ U(t)^\dagger \Theta(t) U(t) = \Theta(0) $。
• 定义生成元 $ H'(t) = i\hbar [\partial_t U(t)] U(t)^{-1} $，并通过 $ {H'}^\dagger = \Theta H' \Theta^{-1} + i\hbar \partial_t \Theta \, \Theta^{-1} $ 证明其不可观测性。
• 证明 $ H' $ 仅当 $ \Theta $ 为常数时才是 $ \Theta $-伪厄米的（因此可观测），否则它不是可观测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Znojil 的表述中，时间演化是否遵循以原始哈密顿量 $ H $ 为依据的标准薛定谔方程？
• RQ2 当度量算符 $ \Theta $ 时变时，时间演化的真正生成元是什么？
• RQ3 在度量时变的情况下，有效哈密顿量 $ H' $ 是否可观测？
• RQ4 在时变度量框架中，时间演化单位性与生成元可观测性之间有何关系？
• RQ5 为何 Znojil 对‘哈密顿量’一词的使用与可观测性与单位性方面的既定结果相冲突？

主要发现

• Znojil 方案中的时间演化由有效哈密顿量 $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $ 控制，而非 $ H(t) $。
• 当度量 $ \Theta $ 时变时，有效哈密顿量 $ H' $ 不是 $ \Theta $-伪厄米的，因此不可观测。
• 当度量时变时，单位时间演化的生成元不可观测，这与‘此类单位性意味着生成元不可观测’的定理一致。
• 在该框架中，标准意义上的‘哈密顿量’（即薛定谔演化生成元）成为不可观测算符，违背了可观测性的通常要求。
• Znojil 将 $ H $ 称为‘哈密顿量’，而实际动力由 $ H' $ 生成，这种术语使用是非标准的，导致概念混淆。
• 通过在参考希尔伯特空间上定义动力学并引入时变内积，可使该表述在数学上明确，其中 $ H' $ 为真正生成元。