[论文解读] Comment on (t, n) Threshold d-level Quantum Secret Sharing

Shih-Hung Kao, Tzonelih Hwang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文指出了宋等人（t, n）阈值d-量子秘密共享协议中的一个关键缺陷，即在缺乏经典通信的情况下，参与方无法重建密钥。作者证明，鲍勃1无法通过对其单个量子比特应用量子傅里叶变换来恢复老板的密钥$a_0$，这是由于与其他量子比特的纠缠，从而否定了该协议关于无信息重建的声称。

ABSTRACT

This comment points out a problem in Song et al.'s (t, n) threshold quantum secret sharing [Scientific Reports, Vol. 7, No. 1 (2017), pp. 6366], indicating that the agent is unable to obtain the expected information.

研究动机与目标

• 识别宋等人（t, n）阈值d-量子秘密共享协议中的一个根本性缺陷。
• 证明当参与方尝试在不交换经典信息的情况下恢复密钥时，密钥重建协议会失败。
• 表明量子比特之间的纠缠会阻止鲍勃1通过仅对其自身量子比特应用QFT⁻¹获得正确的测量结果。
• 纠正原始协议中关于QFT⁻¹在多体纠缠态中作用于单个量子比特时适用性的误解。

提出的方法

• 作者分析了宋等人协议中的密钥重建过程，重点关注拉格朗日插值编码后的量子态演化。
• 他们推导出所有参与方施加各自酉操作$U_{0,s_r}$后的正确量子态，表明所有t个量子比特之间存在纠缠。
• 分析表明，编码后的态为$\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1}\omega^{(\sum s_r)\cdot k}|k\rangle_1|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$，该态在所有量子比特之间存在纠缠。
• 他们仅对第一个量子比特应用逆量子傅里叶变换$QFT^{-1}$，同时对其他量子比特进行部分迹运算，表明结果无法坍缩为$|a_0\rangle$。
• 通过一个具体例子（$d=4$，$t=3$，$a_0=3$），他们计算了完整的态演化过程，并表明由于其他量子比特状态不同，叠加项无法相加。
• 他们得出结论：该协议失败，因为鲍勃1的量子比特测量结果在没有其他参与方经典通信的情况下无法得到$|a_0\rangle$

实验结果

研究问题

• RQ1 在宋等人协议中，参与方是否可以在不进行任何经典通信的情况下重建密钥？
• RQ2 在多体纠缠态中对单个量子比特应用$QFT^{-1}$是否能获得正确的密钥态？
• RQ3 当其他量子比特存在纠缠时，原始协议为何声称仅对鲍勃1的量子比特应用$QFT^{-1}$即可恢复$|a_0\rangle$？
• RQ4 所有参与方执行操作后，正确的量子态是什么？
• RQ5 在存在纠缠的情况下，假设$QFT^{-1}$可独立应用于单个量子比特是否成立？

主要发现

• 该协议失败，因为鲍勃1无法通过仅对其自身量子比特应用$QFT^{-1}$来恢复$a_0$，这是由于与其他量子比特的纠缠。
• 编码后的正确态为$\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1}\omega^{(\sum s_r)\cdot k}|k\rangle_1|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$，该态在所有量子比特之间存在纠缠。
• 仅对第一个量子比特应用$QFT^{-1}$，而其他量子比特处于叠加态$|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$时，无法得到$|a_0\rangle$，因为各项无法相加。
• 在$d=4$，$t=3$，$a_0=3$的例子中，$QFT^{-1}$后的最终态是第一个量子比特的叠加态，而非$|3\rangle$，这是由于其他量子比特处于$|00\rangle$、$|11\rangle$、$|22\rangle$、$|33\rangle$等不同状态。
• 该协议关于无信息重建的声称无效，因为鲍勃1在未接收其他参与方测量结果的情况下无法确定$a_0$。
• 该缺陷否定了原始协议的核心主张：即密钥重建可在参与方之间无需经典通信的情况下完成。