[论文解读] Comment on the Hojman conservation quantities in Cosmology

Andronikos Paliathanasis, P. G. L. Leach|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2015

Cosmology and Gravitation Theories被引用 3

一句话总结

本文批判了在宇宙学中应用霍尔曼方法推导守恒律的做法，特别是在标量场模型中。通过应用假设 ϕ(t) = ϕ(a(t))，本文表明，由此得到的霍尔曼守恒量简化为自由粒子的诺特定 momentum 守恒律，揭示该方法并未产生新的物理约束，且在哈密顿系统中等价于诺特定理在广义变换下的情形。

ABSTRACT

We comment upon the application of Hojman's method for the determination of conservation laws in Cosmology, which has been introduced by Capozziello \& Roshan (Phys. Lett. B 726 (2013) 471 (arXiv:1308.3910)), and has been applied recently in the cosmological scenario of a nonminimally coupled scalar field by Paolella \& Capozziello (Phys. Lett. A (2015), in press (arXiv:1503.00098)). We apply the Ansatz, $ϕ\left( t ight) =ϕ\left( a\left( t ight) ight) $, which was introduced by the cited authors for a minimally-coupled scalar field, and we study the Lie and Noether point symmetries for the reduced equation. We show that under this Ansatz the unknown function of the model cannot be constrained by the requirement of the existence of a conservation law and that the Hojman conservation quantity which arises for the reduced equation is nothing more than the functional form of the Noether conservation law of momentum for the free particle. Finally we show that Hojman's method for Hamiltonian systems, in which the Hamiltonian function is one of the involved equations of the system, is equivalent with the application of Noether's Theorem for generalized transformations.

研究动机与目标

• 检验霍尔曼方法在标量场宇宙学模型中推导守恒律的有效性与物理意义。
• 评估先前研究中使用的假设 ϕ(t) = ϕ(a(t)) 是否通过守恒律真正约束了模型的函数形式。
• 探究霍尔曼方法与哈密顿系统中诺特定理之间的关系。
• 确定通过霍尔曼方法导出的守恒量是否代表了新的物理洞见，还是仅与已知的诺特对称性数学等价。

提出的方法

• 作者将假设 ϕ(t) = ϕ(a(t)) 应用于宇宙学中非最小耦合标量场的动力学方程以实现约化。
• 分析约化后的二阶微分方程的李对称与诺特点对称。
• 将从约化方程导出的霍尔曼守恒量与自由粒子的诺特守恒律进行比较。
• 研究系统的哈密顿形式，识别出哈密顿量为系统方程之一。
• 建立霍尔曼方法与诺特定理在哈密顿系统中广义变换下的等价性。
• 分析依赖于对称性约化与函数形式比较，以确定所导出守恒律的物理内容。

实验结果

研究问题

• RQ1 假设 ϕ(t) = ϕ(a(t)) 是否通过霍尔曼守恒律对标量场模型的未知函数形式产生物理上有意义的约束？
• RQ2 从约化方程导出的霍尔曼守恒量是否真正新颖，还是等价于已知的守恒律？
• RQ3 霍尔曼方法在哈密顿系统中能否被解释为广义变换下诺特定理的一个特例？
• RQ4 在约化宇宙学模型中，霍尔曼守恒量的函数形式是什么？
• RQ5 在此假设下，守恒律的存在是否唯一确定标量场势能或耦合函数？

主要发现

• 从约化方程导出的霍尔曼守恒量在数学上等价于自由粒子系统中诺特动量守恒律。
• 假设 ϕ(t) = ϕ(a(t)) 并未通过守恒律的存在真正约束模型中的未知函数。
• 在哈密顿系统中，当哈密顿量是系统方程的一部分时，霍尔曼方法被证明等价于在广义变换下应用诺特定理。
• 通过霍尔曼方法获得的守恒律并未提供超越约化系统中标准诺特对称性的新物理洞见。
• 守恒量的函数形式并非依赖于标量场的具体动力学，而是反映了自由粒子的底层对称性。
• 本研究得出结论：在此语境下，霍尔曼方法并未产生独立或新颖的守恒律，而仅是诺特定理已隐含的守恒律的再现。