[论文解读] Comment on "Topological equivalence of crystal and quasicrystal band structures"

Yaacov E. Kraus, Zohar Ringel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Quasicrystal Structures and Properties被引用 3

一句话总结

此评论反駁了『一維准晶體與晶體在拓撲上等價』的主張，透過證明准週期性如同對稱性一般，發揮拓撲約束作用，使準週期系統即使在無時間反演對稱性下，也能實現非平庸的陳數。關鍵結果為：僅當準週期性被保留時，準週期系統的拓撲不變量才對絕熱變形至週期系統具有魯棒性，從而否定了 Madsen 等人（2013）提出的等價論點。

ABSTRACT

Madsen et al. [arXiv:1307.2577] claim that one-dimensional insulating crystals and one-dimensional insulating quasicrystals are topologically equivalent and, thus, trivial. In this comment, we clarify that in topological classification of one-dimensional systems, quasiperiodicity plays a role similar to that of a symmetry. Hence, periodic systems are out of the quasiperiodic topological space, and the equivalence between quasicrystals and crystals becomes immaterial.

研究动机与目标

• 解決作者先前關於拓撲準週期系統的研究與 Madsen 等人主張『準晶體與晶體在拓撲上等價』之間的 claimed 矛盾。
• 釐清準週期性如同對稱性一般，定義了一個獨特的拓撲空間，使得陳數可被賦予體積能隙。
• 示範 Madsen 等人數值結果中缺乏邊界態，並不代表拓撲平庸，因為尖銳邊界會破壞準週期性。
• 證明從準週期系統到週期系統的絕熱變形，並不代表拓撲平庸，因為週期系統不在準週期拓撲分類空間之內。
• 確立唯有準週期哈密頓量能支撐如能隙邊界態與界面態等拓撲保護現象。

提出的方法

• 作者分析一維準週期緊緻緊緻模型，其中 hopping 或位能項具有準週期性（QP），由無理頻率 b 和相位 φ 定義。
• 他們證明體積性質（包括能隙）與 φ 無關，因為 QP 函數在 φ 平移下不變，進而允許為能隙分配整數陳數。
• 他們將此與週期系統（有理數 b）對比，後者陳數依賴於 φ，且需對 φ 積分才能定義，因此單一 φ 的陳數無物理意義。
• 他們運用 Thouless 泵形式化方法，證明只要準週期性被保留，QP 系統的拓撲魯棒性即成立。
• 他們數值分析 Aubry-André 模型，顯示邊界態對 φ 的依賴性源於準週期性的局部破壞，而非拓撲平庸。
• 他們主張，當 b 從 1.60 漸變至 1.63 時，大能隙的持續存在，並不代表拓撲等價，因為週期系統不屬於同一拓撲空間。

实验结果

研究问题

• RQ1 在標準拓撲絕緣體分類下，一維準晶體與晶體之間的拓撲等價性是否成立？
• RQ2 能否為具有固定 φ 的單一準週期哈密頓量有意義地賦予陳數？與週期系統有何差異？
• RQ3 為何準週期系統中的邊界態會依賴於 φ？其在數值模擬中之消失是否意味著平庸？
• RQ4 從準週期系統到週期系統的絕熱變形是否意味著拓撲平庸？在此脈絡中，準週期性扮演何種角色？
• RQ5 能否透過連續性為有理數 b 系統定義拓撲不變量（如陳數）？此定義的物理後果為何？

主要发现

• 準週期性發揮類似於對稱性的拓撲約束作用，使準週期系統即使在缺乏額外對稱性下，也能為體積能隙分配整數陳數。
• 準週期系統中某能隙的陳數與相位 φ 無關，因其 QP 函數在 φ 平移下不變，進而允許定義明確的拓撲不變量。
• 相較之下，週期系統（有理數 b）需對 φ 進行積分才能定義陳數，因此單一 φ 的陳數在物理上無意義。
• Madsen 等人模擬中於尖銳邊界處缺乏次能隙邊界態，是因局部破壞了準週期性，而非拓撲平庸，且不與拓撲相的存在矛盾。
• 從準週期系統到週期系統的絕熱變形，並不代表拓撲等價，因為週期系統位於準週期拓撲分類空間之外。
• 當 b 從 1.60 漸變至 1.63 時，所有準週期系統在最大能隙中保持相同陳數，但小能隙及其陳數會隨 b 显著改變。