[论文解读] Commentary on `The Three-Dimensional Current and Surface Wave Equations' by George Mellor

Fabrice Ardhuin, Alastair D. Jenkins+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 64被引用 14

一句话总结

本文識別出梅洛爾（2003）三維流速與表面波動方程中存在根本性不一致，原因在於在sigma坐標系統中對波動引起的動量通量估算不足。本文提出一種波動力項的數值修正方法，但主張其他坐標系統——如基於廣義拉格朗日平均（GLM）或擬歐拉速度的系統——可透過明確分離波動與平均流動動量，從而完全避免此問題，進而建立一致且可解析處理的方程，無需進行數值波動力估算。

ABSTRACT

The lowest order sigma-transformed momentum equation given by Mellor (J. Phys. Oceangr. 2003) takes into account a phase-averaged wave forcing based on Airy wave theory. This equation is shown to be generally inconsistent due to inadequate approximations of the wave motion. Indeed the evaluation of the vertical flux of momentum requires an estimation of the pressure $p$ and coordinate transformation function $s$ to first order in parameters that define the large scale evolution of the wave field, such as the bottom slope. Unfortunately there is no analytical expression for $p$ and $s$ at that order. A numerical correction method is thus proposed and verified. Alternative coordinate transforms that allow a separation of wave and mean flow momenta do not suffer from this inconsistency nor require a numerical estimation of the wave forcing. Indeed, the problematic vertical flux is part of the wave momentum flux, thus distinct from the mean flow momentum flux, and not directly relevant to the mean flow evolution.

研究动机与目标

• 識別並診斷梅洛爾（2003）在應用於淺水波時，其sigma坐標動量方程中的不一致之處。
• 證明梅洛爾公式中波動引起的動量通量項需對波壓與坐標變換進行O(ε₂)階估算，而此估算缺乏解析解。
• 顯示此不一致的根源在於原始公式中將波動動量通量與平均流動動量通量混淆。
• 提出針對梅洛爾方程中波動力項的數值修正方法。
• 主張採用替代公式——特別是基於GLM或擬歐拉速度的公式——可從根本上分離波動與平均流動動量，從而避免對波動力估算的需求。

提出的方法

• 在波坡度小（ε₁ ≪ 1）與海底坡度緩慢（ε₂ ≪ 1）的條件下，分析梅洛爾（2003）公式中最低階的sigma變換動量方程。
• 識別出垂直動量通量p∂s/∂x依賴於波壓p與坐標函數s，而這兩者在O(ε₂)階均無解析表達式。
• 提出一種數值修正方法，以在O(ε₂)階估算波動力項，從而恢復梅洛爾方程的一致性。
• 將梅洛爾公式與安德魯斯與麥克因泰爾（1978）的廣義拉格朗日平均（GLM）方程進行比較，顯示GLM透過分離波動與平均動量通量，從而避免了此不一致。
• 引入擬歐拉速度ū = U − u_S的概念，以解耦波動動量與平均流動演化，進而建立無顯式波動力項的一致方程。
• 透過拉普拉斯方程的數值解驗證理論論點，並顯示即使使用五模態近似（如馬涅等，2006年所用）亦不足以精確估算波動力。

实验结果

研究问题

• RQ1 為何梅洛爾（2003）的sigma坐標動量方程在應用於淺水波且無能量耗散時會出現不一致？
• RQ2 梅洛爾公式中波動引起的動量通量項為何需要在O(ε₂)階進行數值估算？此問題對實際海洋模型建模為何具有困難？
• RQ3 能否透過數值修正解決梅洛爾方程中的不一致？此方法的有效性如何？
• RQ4 基於GLM或擬歐拉速度的公式如何避免梅洛爾方程中所存在的波動力不一致？
• RQ5 在何種條件下，如梅洛爾所用的表面追蹤坐標系統無法正確表示物質面？對動量通量估算有何後果？

主要发现

• 梅洛爾（2003）最低階的sigma變換動量方程存在不一致，原因在於波動引起的壓力p與坐標函數s在O(ε₂)階無法獲得解析表達式，而此階次正是慢變波場一致性所必需的。
• 波動動量通量項S_x3 = p̃^ξ ∂s̃/∂x，取代了歐拉型對流通量uw，其包含波動動量，與平均流動演化無直接關聯，因而導致概念與計算上的混淆。
• 提出一種數值修正方法以估算O(ε₂)階的波動力項，但此方法需進行計算成本高昂的求解，對作業型海洋模型而言通常不可行。
• 基於廣義拉格朗日平均（GLM）或擬歐拉速度ū = U − u_S的替代公式可透過明確分離波動與平均流動動量，從而避免不一致，無需顯式估算波動力。
• 即使在海底坡度與流速梯度存在的情況下，基於GLM的擬歐拉速度方程在最低階仍保持一致且可解析處理，原因在於波動動量通量不出現在平均流動動量方程中。
• 數值實驗顯示，即使使用五模態近似（如馬涅等，2006年所用）亦不足以精確估算波動力，強調需採用更高解析度或替代公式。