[论文解读] Comments on "Chens attractor exists if Lorenz repulsor exists: The Chen system is a special case of the Lorenz system", CHAOS 23, 033108, 2013

Guanrong Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Chaos control and synchronization参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文反驳了先前《CHAO》文章中关于陈系统是洛伦兹系统通过时间反转线性变换的特例这一说法。文章认为，这种所谓的等价性无效，因为两套系统使用不同的参数集，具有根本不同的动力学行为——尤其是稳定性与混沌吸引子的存在性方面——导致该推论在逻辑上不成立，且缺乏动力系统理论的支持。

ABSTRACT

This note points out that the assertions of [1] are groundless and incorrect.

研究动机与目标

• 挑战基于线性时间反转变换的主张，即陈系统是洛伦兹系统的特例。
• 阐明尽管在代数形式上存在表面相似性，但混沌洛伦兹系统与陈系统并非光滑等价。
• 证明两套系统的参数集位于参数空间的不同区域，导致动力学行为截然不同。
• 论证‘若洛伦兹排斥子存在，则陈系统吸引子存在’这一说法在逻辑上存在缺陷，且缺乏证据支持。
• 反对对同一技术点重复发表评论文章，倡导学术出版中的学术效率。

提出的方法

• 分析洛伦兹系统（1）和陈系统（3）的一般参数形式，识别其各自的参数依赖关系。
• 应用线性变换（5），并引入时间反转（τ = -ct），将陈系统映射为类似洛伦兹系统的形式（6）。
• 比较参数集：混沌洛伦兹系统使用 {σ, ρ, β} = {10, 28, 8/3}，其中 β > 0；而变换后的陈系统得到 β̃ = -b/c < 0，表明稳定性行为相反。
• 指出在动力系统中，时间反转通常会破坏混沌，例如当洛伦兹系统的时间被反转时，系统会发散而非保持等价。
• 利用条件 ρ + σ = -1（来自 [1]）表明，所谓的等价性仅在参数空间的一个二维平面上成立，而非普遍成立。
• 引用既定研究成果（如 [3]）证明混沌洛伦兹系统与陈系统之间不存在光滑微分同胚，从而否定等价性主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所提出的线性时间反转变换下，陈系统是否真的是洛伦兹系统的特例？
• RQ2 通过所声称的方法变换后，混沌洛伦兹系统与陈系统是否表现出等价的动力学行为？
• RQ3 在变换后的‘洛伦兹排斥子’中存在吸引子，是否能推断出陈系统吸引子的存在？
• RQ4 参数集差异——特别是 β > 0 与 β̃ < 0——在决定系统稳定性与混沌行为方面有何重要意义？
• RQ5 为何当等价性被限制在参数空间的单个平面上时，该主张具有误导性？这对科学推断有何影响？

主要发现

• [1] 中提出的变换得到 β̃ = -3/28 < 0，导致 X=0 和 Y=0 平面上的 Z 方程不稳定，而原始洛伦兹系统中 β = 8/3 > 0，该平面稳定，二者行为相反。
• 混沌洛伦兹系统（2）不满足等价性所要求的条件 ρ + σ = -1，因此该等价性主张不适用于原始混沌洛伦兹系统。
• 在动力系统中，时间反转会根本性地改变稳定性与动力学行为；因此，对洛伦兹系统进行时间反转后，系统会发散，而非保持等价。
• ‘若洛伦兹排斥子存在，则陈系统吸引子存在’这一说法在逻辑上无效，因为所谓的‘洛伦兹排斥子’实际上是变换后的陈系统，而非变换后的洛伦兹系统。
• 混沌洛伦兹系统与陈系统并非光滑等价（即不存在微分同胚将一个映射到另一个），此结论已在 [3] 中严格证明，与等价性主张相矛盾。
• 对同一技术点重复发表多篇评论文章效率低下，且给学术期刊带来负担，因此建议仅发表一篇权威性评论。