[论文解读] Comments on Defining Entanglement Entropy

Jennifer Lin, Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Quantum many-body systems参考文献 60被引用 19

一句话总结

本文提出了一套精确的代数框架，用于在显式正则化下定义量子场论中的纠缠熵，通过路径积分方案与特定边界条件，区分三种类型——完整、可提纯和规范不变——并推测全息方法计算的是区域上最大代数的完整纠缠熵，从而解决了物质理论与规范理论中熵定义长期存在的歧义。

ABSTRACT

We revisit the issue of defining the entropy of a spatial region in a broad class of quantum theories. In theories with explicit regularizations, working within an elementary but general algebraic framework applicable to matter and gauge theories alike, we give precise path integral expressions for three known types of entanglement entropy that we call full, distillable, and gauge-invariant. For a class of gauge theories that do not necessarily have a regularization in our framework, including Chern-Simons theory, we describe a related approach to defining entropies based on locally extending the Hilbert space at the entangling edge, and we discuss its connections to other calculational prescriptions. Based on results from both approaches, we conjecture that it is always the full entanglement entropy that is calculated by standard holographic techniques in strongly coupled conformal theories.

研究动机与目标

• 解决在希尔伯特空间无法在空间区域间分解的量子场论中定义纠缠熵时存在的歧义。
• 阐明区域上代数算子代数与复制技巧路径积分中边界条件之间的联系。
• 在正则化量子理论中区分并精确定义三种纠缠熵类型：完整、可提纯与规范不变。
• 通过在纠缠边界处引入局部希尔伯特空间扩展，将该框架推广至非正则化理论（如陈-西蒙斯理论）。
• 推测标准全息技术计算强耦合共形场理论中最大代数的完整纠缠熵。

提出的方法

• 通过区域 $\mathbb{V}$ 上支持的子代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ 的冯·诺依曼熵来定义纠缠熵，而非通过部分迹。
• 利用纠缠表面 $\partial\mathbb{V}$ 上的边界条件（如开放、狄利克雷、诺伊曼用于物质场，电/磁边界条件用于规范理论），推导出三种熵类型的显式路径积分表达式。
• 建立一个字典，将特定代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ 映射到复制技巧中边界条件的组合，表明每个代数对应于边界值的加权和。
• 将该框架应用于格点正则化理论（自旋系统、标量/费米子场论、格点规范理论），其中希尔伯特空间的分解是明确定义的。
• 对于非正则化理论（如陈-西蒙斯理论），在 $\partial\mathbb{V}$ 处引入局部希尔伯特空间扩展，以代数方式定义熵。
• 利用威尔逊线从紫外到红外的重建，论证完整熵与红外规范不变熵之间的差异仅是一个与迹归一化相关的常数，而非动力学修正，这是由于紫外与红外中希尔伯特空间维度不同所致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强耦合共形场理论中，标准全息技术计算的纠缠熵对应于哪种代数结构？
• RQ2 复制路径积分中不同边界条件（如狄利克雷、诺伊曼、电/磁）如何映射到特定子代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$？
• RQ3 在正则化量子场论中，完整、可提纯与规范不变纠缠熵之间的确切关系是什么？
• RQ4 如何在非正则化规范理论（如陈-西蒙斯理论）中一致地定义纠缠熵？
• RQ5 在非阿贝尔规范理论中，纠缠熵中的边缘项（如 $\log \dim R$）在对偶性下是否一致变换？

主要发现

• 完整纠缠熵——即区域上最大代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ 的冯·诺依曼熵——正是强耦合共形场理论中标准全息技术所计算的量。
• 每种代数 $\mathcal{A}_{\mathbb{V}}$ 的选择对应于复制路径积分中特定的边界条件组合，例如标量场的所有可能狄利克雷边界值的求和。
• 代数的选择不仅由纠缠边界决定；某些代数对应于 $\mathbb{V}$ 内部的约束，而不仅限于 $\partial\mathbb{V}$ 上的条件。
• 在正则化规范理论中，规范不变熵对应于 $\partial\mathbb{V}$ 上特定电/磁边界条件的路径积分。
• 对于非正则化理论（如陈-西蒙斯理论），在 $\partial\mathbb{V}$ 处引入局部希尔伯特空间扩展，可提供一致的纠缠熵定义，推广了复制技巧方法。
• 完整紫外熵与红外规范不变熵之间的差异是一个与迹归一化相关的常数，而非动力学修正，这是由于紫外与红外中希尔伯特空间维度不同所致。