[论文解读] Comments on the height reducing property

Shigeki Akiyama, Toufik Zaı̈mi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

semigroups and automata theory参考文献 22被引用 3

一句话总结

本论文研究代数数的高减少性质，证明当所有共轭在单位圆上或模均大于1时，在特定乘法依赖条件下满足该性质。研究发现，当乘法独立共轭数至少为 deg(α)/2 − 1 或恰好为1时，该性质成立，并提出利用LLL约化计算这些依赖关系的算法方法，且在度数至16的范围内进行了广泛计算验证。

ABSTRACT

A complex number alpha is said to satisfy the height reducing property if there is a finite subset F of the ring Z of the rational integers such that Z[alpha]=F[alpha]. This problem of finding F has been considered by several authors, especially in contexts related to self affine tilings, and expansions of real numbers in non-integer bases. We continue, in this note, the description of the numbers satisfying the height reducing property, and we specify a related characterization of the roots of integer polynomials with dominant term.

研究动机与目标

• 刻画复数域中满足 ℤ[α] = F[α]（其中 F ⊂ ℤ 为有限子集）的代数数 α ∈ ℂ，此性质称为高减少性质。
• 确定当共轭位于单位圆上时，代数数满足高减少性质的充分条件。
• 开发并应用一种基于LLL算法的算法，以计算乘法独立共轭数 m(α)，从而验证高减少性质。
• 研究在系数有界于 h ≤ 50 的情况下，度数不超过16的代数数的高减少性质是否成立，尤其关注 m(α) < deg(α)/2 的情形。

提出的方法

• 将高减少性质定义为 ℤ[α] = F[α]（其中 F ⊂ ℤ 为有限子集），并分析其对代数整数和单位根的含义。
• 利用Kronecker定理及倒数多项式性质分析位于单位圆上的共轭。
• 引入共轭乘法独立性的概念，并将 m(α) 定义为乘法独立共轭的最大数量。
• 结合 de Weger [4] 的引理3.7与LLL算法，高效地界定并计算 m(α)，从而克服Waldschmidt [12] 所提供的指数界。
• 系统性地枚举有界度数 d、首一系数 c 和系数高度 h 的首一整系数多项式，以寻找反例。
• 使用筛法筛选出所有根位于单位圆上的多项式，并进一步筛选不可约性、本原性及非幂可约形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个代数数 α 的所有共轭位于单位圆上时，其满足高减少性质的条件是什么？
• RQ2 所有度数 ≤ 6 且共轭位于单位圆上的代数数是否都满足高减少性质？
• RQ3 能否为满足 m(α) = deg(α)/2 − 1、deg(α)/2 − 2 或 deg(α)/2 − 3 的代数数建立高减少性质？
• RQ4 是否存在共轭位于单位圆上但不满足高减少性质的代数数？若存在，此类反例的最小度数是多少？
• RQ5 LLL算法能否有效用于计算 m(α) 并在高次情形下验证高减少性质？

主要发现

• 对于所有共轭模均为1或均大于1的代数数 α，若 m(α) ≥ deg(α)/2 − 1 或 m(α) = 1，则高减少性质成立。
• 对于所有度数 ≤ 6 且共轭位于单位圆上的代数数，高减少性质成立，因为 m(α) ≤ deg(α)/2 − 1 的情况不可能发生。
• 在1,030,301个度数为6、首一系数为2、系数高度为50的多项式中，有287个的所有根位于单位圆上，且全部满足高减少性质。
• 在度数12中，发现了四个多项式满足 m(α) = deg(α)/2 − 2，两个满足 m(α) = deg(α)/2 − 3；前者通过求解不等式组被证明满足高减少性质。
• 在度数16中，发现一个多项式满足 m(α) = deg(α)/2 − 3，但该情形下高减少性质尚未被证明。
• 在度数16以内的搜索中，未发现共轭位于单位圆上的多项式存在高减少性质的反例，提示该性质可能在该类中普遍成立。