[论文解读] Common Coupled Fixed Point Theorems for Maps in a $T_0$-ultra-quasi-metric Space

Collins Amburo Agyingi, Gaba, Yaé Ulrich|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在 $T_0$-超拟度量空间中，于 $q$-球面完备性条件下，建立了两组映射的公共耦合不动点的存在性。通过应用佐恩引理由开球内构造极大链，作者在不假设上连续性的情况下证明了不动点的存在性，从而以新颖的拓扑方法推广了此前在非对称度量空间中的结果。

ABSTRACT

In this article, we prove the existence of common fixed points for a pair of maps on a $q$-spherically complete $T_0$-ultra-quasi-metric space. The present article is a generalization, in the assymmetric setting of the paper of Rao et al.\cite{Rao}. The key point in the proof is the use of Zorn's lemma. We construct an appropriate chain and show that it has a maximal element, from which we extract the fixed point we are looking for. The choice of the sets, here open balls, is characteristic of this type of problems and the contraction condition are essential, specially when we are to establish the uniqueness of the fixed point

研究动机与目标

• 通过在 $T_0$-超拟度量空间背景下推广 Rao 等人的结果，将不动点理论拓展至非对称度量设定。
• 在不假设上连续性的情况下，建立两组映射的公共耦合不动点的存在性。
• 证明 $q$-球面完备性足以保证 $T_0$-超拟度量空间中不动点的存在性。
• 提供一种基于开球与佐恩引理构造极大链的拓扑证明框架。

提出的方法

• 利用佐恩引理在 $T_0$-超拟度量空间中点为中心的开球空间内构造极大链。
• 利用 $q$-球面完备性性质，确保任意递减球列的交集非空。
• 在映射上定义压缩条件，以保证链的交集包含一个公共不动点。
• 利用 $T_0$-条件确保当压缩条件满足时不动点的唯一性。
• 应用由超拟度量诱导的拓扑，其中开球 $\{y \in X : d(x,y) < \epsilon\}$ 构成拓扑 $\tau(d)$ 的基。
• 利用共轭 $d^{-1}$ 与对称超度量 $d^s = \sup\{d, d^{-1}\}$ 分析底层拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设映射上连续性的条件下，能否在 $T_0$-超拟度量空间中建立公共耦合不动点？
• RQ2 何种拓扑性质可在较弱连续性假设下保证非对称度量空间中不动点的存在性？
• RQ3 $q$-球面完备性与压缩条件如何相互作用以保证不动点的存在性？
• RQ4 佐恩引理在非对称设定中如何促进构造导致不动点的极大链？
• RQ5 开球与 $T_0$-条件在保证公共不动点唯一性方面发挥何种作用？

主要发现

• 在 $q$-球面完备的 $T_0$-超拟度量空间中，证明了一对映射的公共耦合不动点的存在性。
• 该不动点结果无需假设映射的上连续性，从而推广了先前假设此条件的研究成果。
• 利用佐恩引理构造了开球的极大链，其交集包含公共不动点。
• 压缩条件对于保证空间中不动点的唯一性至关重要。
• $T_0$-超拟度量空间结构允许距离的非对称性，且 $T_0$-条件确保不同点在拓扑上可区分。
• 对称超度量 $d^s = \sup\{d, d^{-1}\}$ 定义良好，并诱导出拓扑 $\tau(d)$，为连接对称度量理论提供了桥梁。