[论文解读] Common divisors of a^n-1 and b^n-1 over function fields

Joseph H. Silverman|ArXiv.org|Jan 26, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文研究了在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的多项式 $a, b$ 下，$a^n - 1$ 与 $b^n - 1$ 的最大公因式（GCD）的次数。通过使用素数定理的函数域类比和 $r$-次互反律，证明了当 $a, b$ 乘法独立时，即使在 $p \nmid n$ 等限制条件下，该 GCD 次数在无穷多个 $n$ 上关于 $n$ 线性增长，这与 $\mathbb{C}[T]$ 中的有界 GCD 次数和 $\mathbb{Z}$ 中的对数增长形成鲜明对比。关键结果为：存在某个 $c > 0$，使得对无穷多个 $n$，有 $\deg(\gcd(a^n-1,b^n-1)) \geq cn$。该结果凸显了在 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{F}_q[T]$ 和 $\mathbb{C}[T]$ 中丢番图整除性的根本三重性。本文解决了关于 Ailon-Rudnick 界在正特征下是否成立的问题，表明即使在对 $n$ 施加强限制的条件下，该界也不成立。证明依赖于通过函数域中的同余条件和互反律构造同时整除 $a^n-1$ 和 $b^n-1$ 的不可约多项式。

ABSTRACT

Ailon and Rudnick have shown that if $a,b \in C[T]$ are multiplicatively independent polynomials, then $°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$ is bounded for all $n\ge1$. We show that if instead $a,b \in F[T]$ for a finite field $F$ of characteristic $p$, then $°(\gcd(a^n-1,b^n-1))$ is larger than $Cn$ for a constant $C=C(a,b)>0$ and for infinitely many $n$, even if $n$ is restricted in various reasonable ways (e.g., $gec(n,p)=1$).

研究动机与目标

• 研究当 $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$ 且 $a$ 与 $b$ 乘法独立时，$\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ 的行为。
• 确定 Ailon-Rudnick 界——即 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ 关于 $n$ 有界——在正特征下是否成立，即使在 $p \nmid n$ 等限制条件下。
• 在函数域中建立 GCD 次数的下界，表明其在无穷多个 $n$ 上关于 $n$ 线性增长，这与 $\mathbb{Z}$ 中的对数增长和 $\mathbb{C}[T]$ 中的有界性形成对比。
• 证明在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中 Ailon-Rudnick 界的失效具有鲁棒性，即使当 $n$ 避免 $p$ 的倍数时仍持续存在。

提出的方法

• 使用函数域中素数定理的类比，估计 $\mathbb{F}_Q[T]$ 中次数为 $N$ 的不可约多项式数量。
• 在函数域的算术级数中应用素数定理，以计数满足 $\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$ 的次数为 $N$ 的不可约多项式 $\pi$，其中 $\ell = \mathrm{LCM}[a,b]$。
• 利用 $\mathbb{F}_q[T]$ 中的 $r$-次互反律，确保若 $\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$，则 $a$ 和 $b$ 模 $\pi$ 是 $r$-次幂，因此对 $n = (Q^N - 1)/r$，有 $a^n \equiv 1$ 和 $b^n \equiv 1 \pmod{\pi}$。
• 通过累加此类 $\pi$ 的次数构造 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ 的下界，得到 $\deg(\gcd) \geq \frac{r}{\Phi_Q(\ell)} \cdot n + O(\sqrt{n})$，其中 $\Phi_Q(\ell)$ 是函数域的欧拉函数。
• 通过恒等式 $\gcd(a^{p^i n} - 1, b^{p^i n} - 1) = \gcd(a^n - 1, b^n - 1)^{p^i}$ 将结果推广到 $n$ 可被 $p$ 整除的情形，从而保持 $n$ 的线性增长。
• 利用 $Q = q^m$ 对某个满足 $m < 2kq^k$ 的 $m$，确保 $r \mid Q - 1$，从而使 $r$-次互反律在 $\mathbb{F}_Q[T]$ 中适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \nmid n$ 时，Ailon-Rudnick 界 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ 是否对 $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$ 成立？
• RQ2 即使对 $n$ 施加强限制，$\mathbb{F}_q[T]$ 中 $\gcd(a^n - 1, b^n - 1)$ 的次数是否能关于 $n$ 有界？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中，$\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1))$ 的增长与 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{C}[T]$ 中的情形相比如何？
• RQ4 是否存在一个正的下界 $c > 0$，使得对无穷多个 $n$，有 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1)) \geq cn$，即使 $n$ 避免 $p$ 的倍数？
• RQ5 模不可约多项式的乘法群结构在控制 $a$ 和 $b$ 模 $\pi$ 的阶时起什么作用？

主要发现

• 对于乘法独立的 $a, b \in \mathbb{F}_q[T]$，存在某个 $c > 0$，使得对无穷多个 $n$，有 $\deg(\gcd(a^n - 1, b^n - 1)) \geq cn$，即使在 $p \nmid n$ 时也成立。
• 该下界通过存在无穷多个次数为 $N$ 的不可约多项式 $\pi$ 得到保证，使得 $\pi \equiv 1 \pmod{\ell}$，其中 $\ell = \mathrm{LCM}[a,b]$，且对 $n = (Q^N - 1)/r$，有 $a^n \equiv b^n \equiv 1 \pmod{\pi}$。
• 常数 $c$ 满足 $c < \frac{1}{\Phi_Q(\ell)}$，其中 $\Phi_Q(\ell)$ 是函数域欧拉函数，且 $Q = q^m$，$m < 2kq^k$。
• 即使 $n$ 可被 $p$ 整除，该结果仍成立，通过恒等式 $\gcd(a^{p^i n} - 1, b^{p^i n} - 1) = \gcd(a^n - 1, b^n - 1)^{p^i}$ 保持线性增长。
• 本文建立了精确的三重性：在 $\mathbb{Z}$ 中，GCD 对数增长慢于任意 $\epsilon n$；在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中，其线性增长；在 $\mathbb{C}[T]$ 中，其有界。
• 证明表明，由于互反律和同余条件导致大量不可约因子的存在，Ailon-Rudnick 界在正特征下不成立，即使在强限制下也失效。