[论文解读] Common fixed point theorems for occasionally weakly compatible maps

Hakima Bouhadjera, Christiane Godet-Thobie|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文在度量空间中，通过涉及一类隐含关系的严格压缩条件，建立了两对偶尔弱相容（owc）单值与集值映射的新的公共不动点定理。关键贡献在于提出了一个统一的框架，推广并扩展了Aliouche、Bouhadjera、Popa、Djoudi与Nisse、Pathak等人以及Elamrani与Mehdaoui的现有结果，证明了在温和的连续性和相容性条件下，公共不动点的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we establish a common fixed point theorem for two pairs of occasionally weakly compatible single and set-valued maps satisfying a strict contractive condition in a metric space. Our result extends many results existing in the literature as those of Aliouche and Popa [15-20]. Also we establish another common fixed point theorem for four owc single and set-valued maps of Gregu% š type which generalizes the results of Djoudi and Nisse, Pathak, Cho, Kang and Madharia and we end our work by giving a third theorem which extends the results given by Elamrani & Mehdaoui and Mbarki.

研究动机与目标

• 统一并扩展度量空间中偶尔弱相容映射的既有公共不动点定理。
• 通过使用严格压缩隐含关系，推广Aliouche、Bouhadjera、Popa、Djoudi与Nisse以及Pathak等人等人的结果。
• 为四对owc映射（Greguš型）建立一个公共不动点定理，改进文献中先前的结果。
• 通过引入更广泛的隐含关系类，推广Elamrani与Mehdaoui以及Mbarki的发现。
• 在最小连续性和相容性假设下，证明公共不动点的存在性与唯一性。

提出的方法

• 引入一个严格压缩条件，使用一个非减函数Φ，满足Φ(t)=0当且仅当t=0。
• 应用一个涉及函数α, β, γ: [0,∞[ → [0,1[ 的隐含关系，满足对所有t>0有α(t)+β(t)+γ(t) < 1。
• 采用偶尔弱相容（owc）映射的概念，即f与F在它们的重合点处以正概率可交换。
• 使用Hausdorff度量H和δ-度量，处理有界闭集空间中的集值映射。
• 通过Φ的性质和压缩不等式，采用反证法证明d(fu,gv)=0以及f²u=fu。
• 通过假设存在第二个公共不动点并利用严格不等式条件导出矛盾，完成唯一性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在严格压缩条件下，将偶尔弱相容映射的公共不动点定理推广至现有框架之外？
• RQ2 函数α, β, γ构成的隐含关系（其和小于1）如何影响公共不动点的存在性？
• RQ3 Djoudi与Nisse、Pathak等人以及Elamrani与Mehdaoui的结果在多大程度上可以被统一和推广？
• RQ4 偶尔弱相容条件在不依赖完全连续性的情况下，对保证不动点存在性起到何种作用？
• RQ5 在所提出的压缩条件下，能否证明公共不动点的唯一性？

主要发现

• 若两对映射{f,F}和{g,G}为偶尔弱相容并满足隐含压缩条件(3.7)，则在X中存在唯一的公共不动点。
• 证明通过反证法得出d(fu,gv)=0，利用严格不等式α(t)+β(t)+γ(t)<1及Φ的性质。
• 证明了f²u=fu与g²v=gv，表明公共值w=fu=gv是f、g、F与G的不动点。
• 通过假设存在第二个公共不动点w′，导出Φ(d(w,w′))<Φ(d(w,w′))的矛盾，从而证明唯一性。
• 该结果推广并改进了Aliouche、Bouhadjera、Popa、Djoudi与Nisse、Pathak等人、Elamrani与Mehdaoui以及Mbarki的先前定理。
• 当不等式(3.7)被修改为使用max{Φ(d(fx,Gy)), Φ(d(gy,Gy))}代替原和时，定理仍然成立。