[论文解读] Common fixed point theorems for pairs of subcompatible maps

Hakima Bouhadjera, Christiane Godet-Thobie|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用 46

一句话总结

本文引入了次相容性（subcompatibility）和次序列连续性（subsequential continuity）的概念，作为固定点理论中现有相容性与连续性条件的更弱替代。研究在度量空间中建立了四映射的新公共不动点定理，改进了Jungck与Rhoades的先前结果，并推广了Greguš、Pathak等人及其他人的工作，适用于广义压缩条件下成对映射与映射序列的情形。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the new concepts of subcompatibility and subsequential continuity which are respectively weaker than occasionally weak compatibilty and reciprocal continuity. With them, we establish several common fixed point theorems which extend corresponding results of Jungck and Rhoades (2006), Djoudi and Nisse (2003) and Mbarki (2002).

研究动机与目标

• 引入并形式化次相容映射与次序列连续映射的新概念，作为现有相容性与连续性概念的更弱替代。
• 通过使用这些新条件，扩展并改进近期涉及相容映射与偶尔弱相容映射的不动点定理。
• 通过在次相容性与次序列连续性下建立新的公共不动点定理，推广Greguš、Djoudi与Nisse、Pathak等人及其他人的现有结果。
• 提供一个统一框架，涵盖并强化文献中关于多映射公共不动点定理的先前结果。
• 将理论扩展至映射序列，证明在广义压缩条件下，h、k与{f_n}存在唯一公共不动点。

提出的方法

• 将次相容映射定义为：存在一个序列收敛于公共极限点，使得fgx_n与gfx_n之间的距离趋于零。
• 引入次序列连续性作为连续性的较弱形式，确保当gx_n收敛于t时，f(gx_n)的极限等于f(t)。
• 使用函数Φ: [0,∞) → [0,∞)，满足Φ(t) = 0当且仅当t = 0，以及函数a, b: [0,∞) → [0,1)，满足对所有t > 0有a(t) + b(t) < 1。
• 建立广义压缩不等式：对所有x, y，有Φ(d(fx, gy)) ≤ a(d(hx, ky))Φ(d(hx, ky)) + b(d(hx, ky)) × min{Φ(d(hx, gy)), Φ(d(ky, fx))}。
• 结合压缩条件、次相容性与次序列连续性，通过反证法证明不动点的唯一性。
• 通过递推与极限论证，将结果推广至映射序列，证明在相同条件下，h、k与{f_n}存在唯一公共不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在公共不动点定理中，能否在保持公共不动点存在性的前提下，弱化相容性与连续性的条件？
• RQ2 新提出的次相容性与次序列连续性概念，与现有概念（如偶尔弱相容映射与相互连续映射）相比有何异同？
• RQ3 能否利用涉及Φ、a与b的广义压缩条件，在比以往已知更弱的假设下推导出公共不动点？
• RQ4 在类似条件下，结果在多大程度上可从两个或四个映射推广至无限映射序列？
• RQ5 在所提条件下，公共不动点是否唯一？能否通过Φ、a与b的性质，利用反证法证明其唯一性？

主要发现

• 通过反例表明，次相容性是比偶尔弱相容映射更弱的条件，即存在次相容映射但不满足owc条件。
• 本文在次相容性与次序列连续性条件下，证明了四映射的新公共不动点定理，该结果改进了Jungck与Rhoades的先前结果。
• 涉及Φ、a与b的广义压缩条件可确保d(t,z) = 0，从而推出t = z，因此证明了唯一公共不动点的存在性。
• 反证法表明，假设d(ft,t) > 0会导致Φ(d(ft,t)) < Φ(d(ft,t))，这是不可能的，因此必有ft = t。
• 通过假设存在另一不动点w ≠ t，并利用相同不等式导出类似矛盾，从而确立了公共不动点的唯一性。
• 结果被推广至映射序列f_n、h与k，证明在相同条件下，所有映射共享唯一公共不动点。