[论文解读] Common tangents to convex bodies

Federico Castillo, Joseph Doolittle+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2021

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文将经典结论‘两个不相交的圆有四条公切线’推广至高维空间中任意凸体的情形。作者基于极对偶性与凸包中可见性的新颖归纳方法，证明在 ℝᵈ 中 m 个强分离的凸体具有与 Sᵈ⁻ᵐ 同胚的公切超平面空间，从而为 d 个在 ℝᵈ 中分离的凸体恰好有 2ᵈ 条公切线的 Bisztriczky 定理提供了组合证明。

ABSTRACT

A family of k point sets in d dimensions is well-separated if the convex hulls of any two disjoint subfamilies can be separated by a hyperplane. Well-separation is a strong assumption that allows us to conclude that certain kinds of generalized ham-sandwich cuts for the point sets exist. But how hard is it to check if a given family of high-dimensional point sets has this property? Starting from this question, we study several algorithmic aspects of the existence of transversals and separations in high-dimensions. First, we give an explicit proof that k point sets are well-separated if and only if their convex hulls admit no (k - 2)-transversal, i.e., if there exists no (k - 2)-dimensional flat that intersects the convex hulls of all k sets. It follows that the task of checking well-separation lies in the complexity class coNP. Next, we show that it is NP-hard to decide whether there is a hyperplane-transversal (that is, a (d - 1)-transversal) of a family of d + 1 line segments in ℝ^d, where d is part of the input. As a consequence, it follows that the general problem of testing well-separation is coNP-complete. Furthermore, we show that finding a hyperplane that maximizes the number of intersected sets is NP-hard, but allows for an Ω((log k)/(k log log k))-approximation algorithm that is polynomial in d and k, when each set consists of a single point. When all point sets are finite, we show that checking whether there exists a (k - 2)-transversal is in fact strongly NP-complete. Finally, we take the viewpoint of parametrized complexity, using the dimension d as a parameter: given k convex sets in ℝ^d, checking whether there is a (k-2)-transversal is FPT with respect to d. On the other hand, for k ≥ d+1 finite point sets in ℝ^d, it turns out that checking whether there is a (d-1)-transversal is W[1]-hard with respect to d.

研究动机与目标

• 将 Cappell 等人关于高维空间中严格凸体的公切线结果推广至任意凸体，包括多面体。
• 为 Bisztriczky 关于 ℝᵈ 中 d 个分离凸体的公切线数量的定理提供一种新的组合证明。
• 建立在 ℝᵈ 中 m 个强分离凸体的公切超平面空间同胚于 (d−m)−维球面 Sᵈ⁻ᵐ 的结论。
• 通过对偶性与极凸体中的可见性，探索公切超平面的拓扑与组合结构。

提出的方法

• 作者将强分离定义为：任意一组体与其余体之间均存在一个超平面将其分离，以确保适当的几何分离。
• 利用极对偶性将问题转化为凸体族凸包的极凸体中关于可见性的条件。
• 通过在对偶空间中利用可见性与分离条件，构建一个通过降维的归纳论证。
• 该证明借助 Bruggesser–Mani 的可壳化思想与多面体结构，处理如多面体等非严格凸体。
• 该方法不依赖光滑性或严格凸性，因此适用于一般凸体。
• 关键技术步骤是通过保持分离与切线性质的对偶性论证，证明切超平面空间同胚于 Sᵈ⁻ᵐ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝᵈ 中，m 个强分离凸体的公切超平面集合的拓扑结构是什么？
• RQ2 经典结论‘两个不相交圆有四条公切线’是否可推广至高维空间中任意凸体？
• RQ3 能否通过组合与拓扑方法重新证明 Bisztriczky 关于 d 个分离凸体在 ℝᵈ 中有 2ᵈ 条公切线的定理？
• RQ4 当凸体非严格凸（如多面体）时，公切线空间的行为如何？
• RQ5 在 ℝᵈ 中，m ≤ d 个强分离凸体的公切线空间是否总是同胚于 Sᵈ⁻ᵐ？

主要发现

• 在 ℝᵈ 中，m 个强分离凸体的公切超平面空间同胚于 (d−m)−维球面 Sᵈ⁻ᵐ。
• 该结论对任意凸体（包括非严格凸体如多面体）均成立，扩展了以往要求严格凸性的结果。
• 当 m = d 时，公切超平面的数量恰好为 2ᵈ，组合性地证实了 Bisztriczky 定理。
• 当凸体为多面体时，公切超平面集合构成一个多面复形，且该复形组合等价于某个多面体的边界。
• 该证明方法与以往方法有本质不同，避免使用微分几何，转而采用对偶性与归纳可见性论证。
• 单纯形分离蕴含强分离，但反之不成立，论文图示中的反例已说明此点。