[论文解读] Community Detection Based on the $L_\infty$ convergence of eigenvectors in DCBM

Yan Liu, Zhiqiang Hou+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文在度校正随机块模型（DCBM）下建立了邻接矩阵特征向量的 $L_\infty$ 收敛速率，证明了几乎必然收敛速率为 $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$。提出了一种基于特征向量分量比值的新型谱聚类方法 SCDRE，实现了稳定的社区检测，并在模拟实验中优于现有方法。

ABSTRACT

Spectral clustering is one of the most popular algorithms for community detection in network analysis. Based on this rationale, in this paper we give the convergence rate of eigenvectors for the adjacency matrix in the $l_\infty$ norm, under the stochastic block model (BM) and degree corrected stochastic block model (DCBM), adding some mild and rational conditions. We also extend this result to a more general model, presented based on the DCBM such that the value of random variables in the adjacency matrix is not 0 or 1, but an arbitrary real number. During the process of proving the above conclusion, we obtain the relationship of the eigenvalues in the adjacency matrix and the corresponding `population' matrix, which vary in dimension from the community-wise edge probability matrix. Using that result, we can give an estimate of the number of the communities in a known set of network data. Meanwhile we proved the consistency of the estimator. Furthermore, according to the derivation of proof for the convergence of eigenvectors, we propose a new approach to community detection -- Spectral Clustering based on Difference of Ratios of Eigenvectors (SCDRE). Our simulation experiments demonstrate the superiority of our method in community detection.

研究动机与目标

• 在 DCBM 下建立邻接矩阵特征向量的几乎必然 $L_\infty$ 收敛速率。
• 推导 DCBM 框架下邻接矩阵特征值与其对应总体矩阵特征值之间的关系。
• 基于特征向量分量的比值，提出一种新的社区检测方法 SCDRE。
• 利用特征值与特征向量之间的关系，提供一种社区数量的一致估计量。
• 将理论结果推广至邻接矩阵条目为任意实数（而不仅限于 0 或 1）的广义模型。

提出的方法

• 利用随机矩阵理论和 Wigner 矩阵结果，分析 $L_\infty$ 范数下的特征向量收敛性。
• 在较弱条件下，推导出主导特征向量的收敛速率 $\|U_t - Q_t T_t\|_\infty = o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$。
• 提出基于特征向量分量比值的谱聚类方法 SCDRE（基于特征向量比值差异的谱聚类）。
• 通过总体矩阵中特征值与特征向量的结构，建立社区数量估计量的一致性。
• 将理论结果推广至邻接矩阵条目为任意实数（不限于 0–1）的广义模型。
• 应用 Davis–Kahan 定理与正交分解技术，对 $L_\infty$ 范数下的特征向量扰动进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 DCBM 下，邻接矩阵特征向量的几乎必然 $L_\infty$ 收敛速率是什么？
• RQ2 在 DCBM 中，邻接矩阵的特征值与特征向量如何与总体矩阵的特征值与特征向量相关联？
• RQ3 是否可以利用特征向量分量的比值来一致估计网络中的社区数量？
• RQ4 所提出的 SCDRE 方法是否在社区检测性能上优于现有的谱聚类方法？
• RQ5 理论收敛结果能否推广至邻接矩阵条目为任意实数（而非仅限于 0 或 1）的广义模型？

主要发现

• 在 DCBM 下，邻接矩阵的特征向量以速率 $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ 几乎必然收敛于总体矩阵的特征向量，在 $L_\infty$ 范数下成立。
• 所提出的 SCDRE 方法在模拟实验中相比基线谱聚类方法表现出更优的社区检测性能。
• 可通过邻接矩阵与总体矩阵的特征值与特征向量之间的关系，一致估计社区数量。
• 证明了特征向量比值 $RR_\zeta(i,j)$ 仅在节点 $i$ 与 $j$ 属于同一社区时为 1，若属于不同社区则导致矛盾。
• 在较弱正则性条件下，证明了 DCBM 下社区数量估计量的理论一致性。
• 收敛结果被推广至邻接矩阵条目为任意实数（不限于 0 或 1）的广义模型。